Вероятность ошибки приема флуктуирующих сигналов

Запишем сигнал на входе приемника в виде

(3.5)

Здесь a = S _x / S ₀ – случайный мультипликативный коэффициент, S _x – случайная амплитуда, S₀ – амплитуда в отсутствие замираний.

Тогда

(3.6)

Величина h_x характеризует ОСШ принятого в данный момент времени символа. Вероятность ошибки при этом обозначим как P_E (h_x). Необходимо найти среднюю за сеанс связи вероятность ошибки. Математическое ожидание М[ P_E (h_x)] ищем обычным образом:

, (3.7)
где W (h_x) – неизвестное пока распределение случайной величины h_x. Будем предполагать, что канал является релеевским, т.е. амплитуда S_x распределена по релеевскому закону. Связь между величинами h_x и S_x дает соотношение (3.6). Представим его в виде

, или

= aS_x, (3.8)

где B_c = WT – база сигнала, - мощность шума, P_cx – мощность принятого сигнала.

Распределение случайной амплитуды запишем в виде:

, (3.9)

где - мощность флуктуирующей составляющей.

Воспользуемся теоремой о функциональном преобразовании распределений случайных величин, которая в данном контексте выглядит, как

W(y) = W _x [j(y)] [j¢(y)], где:

y=f(x) – связь между старой и новой случайными величинами x и y: h _x = aS _x,
j(y) – функция, обратная f(x): S _x = h _x / a,

W _x (x) – плотность распределения вероятностей случайной величины x. Тогда:

(3.10)

В последнем соотношении использовано равенство средней энергии посылки флуктуирующего сигнала и энергии посылки сигнала в отсутствии флуктуаций, что следует из физических соображений. Говоря другими словами, .

Окончательно, искомую плотность распределения запишем в виде

(3.11)

Теперь имеется все необходимое для вычисления вероятности ошибки в каналах со случайными параметрами. Для получения удобной сокращенной записи введем коэффициент g_с, учитывающий тип используемых сигналов:

g_с = для противоположных сигналов,