double arrow

Прямое произведение множеств.


Прямым (или декартовым) произведением множеств Аи В называется множество , состоящее из всех упорядоченных пар (a,b) таких, что и .

Если Аи В - конечное множество, мощности и , то .

Геометрическим образом множества действительных чисел R является прямая, а геометрическим образом декартового квадрата является плоскость.

Множество всех двоичных наборов длины n можно рассматривать как - n-ую декартову степень двухэлементного множества . Отсюда следует, что число двоичных наборов длины n равно 2n. Считая каждый двоичный набор характеристическим вектором подмножества n-элементного множества, получаем, что число всех подмножеств n-элементного множества равно 2n. Этим объясняется часто используемое обозначение 2A для множества всех подмножеств A , которое используется как для конечных, так и для бесконечных множеств.

Если A конечное непустое множество, , то , так как 2n>n при Покажем, что для бесконечных множеств данное соотношение между мощностями сохраняется. Допустим противное, пусть между A и 2A установлено взаимно однозначное соответствие . Определим множество следующим образом. Для каждого включим a в B в том и только в том случае, если . Пусть , где b-элементы множества A , для которого . Зададимся теперь вопросом, является ли b элементом множества B? Если , то по построению множества B. А если , то опять таки по построению множества B. Таким образом, одновременно имеет место и . Полученное противоречие и доказывает невозможность установления взаимно однозначного соответствия между A и 2A.

Контрольные вопросы.

1. Что называется множеством?

2. Дайте определение пересечения множеств.

3. Что называют мощностью множества?

4. Дайте определение прямого произведения множеств.

5. Приведите примеры множества.


Сейчас читают про: