2015-06-28
2516
1. На числовом примере доказать выражения
1. 
;
2. 
;
3. 
.
2. Проверить справедливость нижеследующих равенств для множеств 
; 
; 
и выяснить верны ли равенства для произвольных 
.
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
.
10. 
.
Пример решения задания 2
Вариант 1
;
;
;
Как видим, равенство для заданных множеств выполняется.
Теперь проверим это равенство для общего случая (произвольных множеств .
Пусть 
, 
, 
, где 
, 
, 
, 
– списки элементов.
Тогда 
, где 
– множества пар элементов, первая компонента которых входит в список 
и 
, а вторая – в список 
.
,
,
.
Как видим множества 
и 
состоят из пар одинакового вида 
, следовательно, равенство 
выполняется для произвольных множеств .
3. Сравнить кортежи:
1. а) 
и 
; б) 
и 
;
в) и 
;
2. 
и 
;
3. 
и ;
4. 
и 
;
5. и 
Пример решения задания 3
Вариант 1
а) Кортежи 
и 
равны, так как 
; 
; 
; б) кортежи 
и 
различны, хотя имеют одинаковую длину и одно и то же множество координат, но эти координаты располагаются в разном порядке; в) кортежи и 
различны, так как имеют разную длину.
4. Дано соответствие 
(табл. 2.1).
1. Изобразить соответствие 
в виде векторной диаграммы.
|
|
|
2. Выяснить, какими из 4 основных свойств (всюду определенность, сюръективность, функциональность, инъективность) обладает соответствие.
3. Найти образ множества 
и прообраз множества 
при данном соответствии.
4. Построить соответствие между бесконечными множествами, обладающее тем же набором свойств, что и .
5. Построить соответствие между конечными множествами, обладающее набором свойств, противоположным данному.
Для данного и построенных соответствий отметить случаи отображений, указать их тип, отметить случаи биекций.
Пример решения задания 4
Вариант 30
1. Изображаем соответствие 
в виде векторной диаграммы (рис. 2.6).
2. Определяем какими из 4 основных свойств обладает данное соответствие.
Таблица 2.1
Варианты задания 4
| Вариант |  |  | |  |  |
 | 1,2,3,4,5 |  |  | 3,4 | |
 | 1,2,3 |  |  | 1,3 | |
| | 1,2,3,4 |  |  | 3,4 | |
 | 1,2,3,4,5 |  |  | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 | | | 2,3 | |
| | 1,2,3,4,5 |  | | 3,4 |
а) всюду определенность: для этого необходимо выполнение равенства 
. В примере соответствие 
, откуда следует, что проекция соответствия на первую ось равна 
(первые компоненты соответствия ). При этом исходное множество 
в соответствии 
равно 
, следовательно 
. Таким образом, соответствие не всюду определено.
|
|
|
б) сюръективность: для этого необходимо выполнение равенства 
. В примере 
. Соответствие не сюръективно.
в) функциональность: для этого необходимо чтобы образом любого элемента из множества 
являлся единственный элемент из множества 
. Сравнивая множества 
и 
, видим, что одинаковым первым элементам (координатам) 
из множества соответствует не единственный элемент из множества : элементы 1 и 5(соответствие содержит две пары 
и 
с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами). Следовательно, соответствие не функционально.
г) инъективность: для этого необходимо чтобы прообразом любого элемента из множества являлся единственный элемент из множества (соответствие не должно содержать пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами). Пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами в данном соответствии не имеется, следовательно, оно инъективно.
3. Найдем образ 
и прообраз 
при соответствии .
Так как 
, а элементы и 
образуют в исходном соответствии подмножество 
, то образ 
.
Так как 
, а один элемент 4 образует в исходном соответствии подмножество 
, то прообраз 
.
4. Построим соответствие между бесконечными множествами, обладающее тем же набором свойств, что и .
Пусть 
, 
, 
.
Графиком данного соответствия будет полукруг (рис. 2.7), из которого видно, что 
, 
, а само соответствие в виде множества 
.
а) Построенное соответствие не всюду определено, так как 
.
б) Построенное соответствие не сюръективно, так как 
.
а) Построенное соответствие не всюду определено, так как 
.
б) Построенное соответствие не сюръективно, так как 
.
в) Построенное соответствие не функционально, так как содержит пары с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами, например, 
и 
.
г) Соответствие инъективно, так как не содержит пар с различными первыми и одинаковыми вторыми координатами.
5. Построим соответствие между конечными множествами, обладающее набором свойств, противоположным исходному, то есть такое, чтобы оно было всюду определено, сюръективно, функционально, не инъективно.
Пусть 
, 
, 
. Векторная диаграмма данного соответствия представлена на рис. 2.8.
а) Данное соответствие всюду определено, так как 
.
б) Соответствие сюръективно, так как 
.
в) Соответствие функционально, так как оно не содержит пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.
г) Соответствие не инъективно, так как содержит две пары 
и 
с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами.
Так как построенное соответствие всюду определено, сюръективно и функционально, то оно является отображением 
на 
.
5. Дано отношение 
, заданное на множестве 
(табл. 2.2).
1. Выяснить, какими из свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность обладает отношение , заданное на множестве .
2. Построить на конечном множестве отношение, обладающее таким же набором свойств, что и данное.
3. Построить на бесконечном множестве отношение, обладающее набором свойств, противоположным данному. В случае невозможности построения доказать противоречивость набора требований.
Пример решения задания 5
Вариант 9
1. Выясним, какими свойствами обладает данное отношение.
Таблица 2.2
Варианты задания 4
| Вариант | |  |
| Множество студентов ВУЗа |  ,  и  учатся на одном факультете | |
| Множество окружностей на плоскости | , касается | |
| Жители страны на начало этого года | , и – супруги | |
| Жители страны на начало этого года | , и состоят в одной и той же политической партии | |
| Прямые в пространстве | , и имеют хотя бы одну общую точку | |
 | , и имеют одинаковый остаток от деления на 5 | |
| | ,  | |
| Читатели библиотеки вашего ВУЗа | , и прочитали одну и ту же книгу | |
| Множество теннисистов турнира, в котором каждый должен сыграть 3 партии | , обыграл порезультатам личных встреч |
1) Отношение не является рефлексивным, так как не может обыграть сам себя.
|
|
|
2) Отношение является антирефлексивным, так как каждый теннисист не обыграл сам себя (не выполняется рефлексивность).
3) Отношение не является симметричным, так как найдется пара теннисистов и такая, что обыграл по очкам в личных встречах, а не обыграл .
4) Отношение является антисимметричным, так как если обыграл , то обязательно не обыграл (не выполняется симметричность).
5) Отношение не является транзитивным, так как может сложиться ситуация, когда обыграл , обыграл , и в то же время обыграл .
6) Отношение является связным, так как любая пара спортсменов должна сыграть между собой и выявить победителя.
2. Построим на конечном множестве отношение, обладающее
таким же набором свойств, что и данное.
Пусть конечное множество равно 
, а отношение 
. Изобразим это отношение в виде графа (рис. 2. 8).
1) Это отношение не является рефлексивным, так как 
.
2) Отношение антирефлексивно, так как , 
, 
.
3) Отношение не симметрично, так как 
и 
.
4) Отношение антисимметрично, так как и , 
и 
, 
и 
.
5) Отношение не транзитивно, так как и 
но .
6) Отношение связно, так как любая пара различных элементов из множества вступает в отношение в том или ином порядке.
3. Построим на бесконечном множестве отношение, обладающее набором свойств, противоположным исходному, то есть рефлексивное и не антирефлексивное, симметричное и не антисимметричное, транзитивное и не связное.
Пусть 
, и отношение означает, что и имеют одинаковую дробную часть. Тогда это отношение будет обладать следующими свойствами.
1. Отношение рефлексивно, так как любое число имеет одинаковую дробную часть само с собой.
2. Отношение не антирефлексивно, так как найдется число, например, 2,34, имеющее одинаковую дробную часть само с собой.
3. Отношение симметрично, так как если и имеют одинаковую дробную часть, то и также имеют одинаковую дробную часть.
4. Отношение не антисимметрично, так как, например, числа 2,35 и 3,35 не равны, и в то же время они находятся в отношении 2, 35 3, 35 и 3,35 2,35.
|
|
|
5. Отношение является транзитивным, так как если и имеют одинаковую дробную часть, и имеют одинаковую дробную часть, то и также имеют ту же самую дробную часть.
6. Отношение не связно, так как, например, числа 3,1 и 1,6 не равны, но 
и 
.
Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, значит, оно является отношение эквивалентности.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дать определение декартова (прямого) произведения. В каком виде оно задается? Представить его геометрически.
2. Какой закон выполняется для декартова произведения множеств? Записать его.
3. Что такое кортеж и чему равна его длина? Примеры кортежей. Основные отличия понятий кортежа и множества.
4. Что называется степенью декартова произведения? Что представляют собой проекции кортежей на оси, их обозначения, как определяются проекции?
5. Дать определение соответствия между множествами А и В, привести его обозначение. Что предполагает соответствие?
6. Привести графическое изображение соответствия на примерах.
7. Дать определение образа и прообраза элемента, области определения и области значений соответствия, всюду определенного и сюръективного соответствия, инъективного и функционального соответствия.
8. Что такое взаимнооднозначное соответствие, биекция, отображения в и на , равномощные, счетные и континуальные множества?
9. Привести геометрическую иллюстрацию и примеры соответствий.
10. Дать определение отношений, как они называются в зависимости от числа связей между ними? Какое отношение называется бинарным? Привести примеры отношений.
11. Как задается с помощью матриц бинарное отношение? Привести примеры.
12. Что понимают под рефлексивным и антирефлексивным отношением, как записываются эти свойства? Примеры.
13. Какие отношения обладают свойством симметричности и антисимметричности, их запись? Примеры.
14. Дать определения транзитивного и связного отношения, их запись и привести примеры.
15. Что такое транзитивное замыкание отношений? Привести его запись.
16. С помощью каких выражений определяются свойства бинарных отношений?
17. Что такое отношения частичного, линейного, строгого и строгого линейного порядка?
18. Какие отношения являются отношениями эквивалентности, их свойства? Что такое фактор-множества, индекс разбиения, примеры отношений эквивалентности.
19. Какие отношения являются отношениями строгого и нестрогого порядка, линейно и частично упорядоченными множествами? Привести примеры.
20. Дать определение функциональных отношений.
