1. На числовом примере доказать выражения
1. ;
2. ;
3. .
2. Проверить справедливость нижеследующих равенств для множеств ; ; и выяснить верны ли равенства для произвольных .
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. .
10. .
Пример решения задания 2
Вариант 1
;
;
;
Как видим, равенство для заданных множеств выполняется.
Теперь проверим это равенство для общего случая (произвольных множеств .
Пусть , , , где , , , – списки элементов.
Тогда , где – множества пар элементов, первая компонента которых входит в список и , а вторая – в список .
,
,
.
Как видим множества и состоят из пар одинакового вида , следовательно, равенство выполняется для произвольных множеств .
3. Сравнить кортежи:
1. а) и ; б) и ;
в) и ;
2. и ;
3. и ;
4. и ;
5. и
Пример решения задания 3
Вариант 1
а) Кортежи и равны, так как ; ; ; б) кортежи и различны, хотя имеют одинаковую длину и одно и то же множество координат, но эти координаты располагаются в разном порядке; в) кортежи и различны, так как имеют разную длину.
4. Дано соответствие (табл. 2.1).
|
|
1. Изобразить соответствие в виде векторной диаграммы.
2. Выяснить, какими из 4 основных свойств (всюду определенность, сюръективность, функциональность, инъективность) обладает соответствие.
3. Найти образ множества и прообраз множества при данном соответствии.
4. Построить соответствие между бесконечными множествами, обладающее тем же набором свойств, что и .
5. Построить соответствие между конечными множествами, обладающее набором свойств, противоположным данному.
Для данного и построенных соответствий отметить случаи отображений, указать их тип, отметить случаи биекций.
Пример решения задания 4
Вариант 30
1. Изображаем соответствие в виде векторной диаграммы (рис. 2.6).
2. Определяем какими из 4 основных свойств обладает данное соответствие.
Таблица 2.1
Варианты задания 4
Вариант | |||||
1,2,3,4,5 | 3,4 | ||||
1,2,3 | 1,3 | ||||
1,2,3,4 | 3,4 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 2,3 | ||||
1,2,3,4,5 | 3,4 |
а) всюду определенность: для этого необходимо выполнение равенства . В примере соответствие , откуда следует, что проекция соответствия на первую ось равна (первые компоненты соответствия ). При этом исходное множество в соответствии равно , следовательно . Таким образом, соответствие не всюду определено.
|
|
б) сюръективность: для этого необходимо выполнение равенства . В примере . Соответствие не сюръективно.
в) функциональность: для этого необходимо чтобы образом любого элемента из множества являлся единственный элемент из множества . Сравнивая множества и , видим, что одинаковым первым элементам (координатам) из множества соответствует не единственный элемент из множества : элементы 1 и 5(соответствие содержит две пары и с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами). Следовательно, соответствие не функционально.
г) инъективность: для этого необходимо чтобы прообразом любого элемента из множества являлся единственный элемент из множества (соответствие не должно содержать пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами). Пар с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами в данном соответствии не имеется, следовательно, оно инъективно.
3. Найдем образ и прообраз при соответствии .
Так как , а элементы и образуют в исходном соответствии подмножество , то образ .
Так как , а один элемент 4 образует в исходном соответствии подмножество , то прообраз .
4. Построим соответствие между бесконечными множествами, обладающее тем же набором свойств, что и .
Пусть , , .
Графиком данного соответствия будет полукруг (рис. 2.7), из которого видно, что , , а само соответствие в виде множества .
а) Построенное соответствие не всюду определено, так как .
б) Построенное соответствие не сюръективно, так как .
а) Построенное соответствие не всюду определено, так как .
б) Построенное соответствие не сюръективно, так как .
в) Построенное соответствие не функционально, так как содержит пары с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами, например, и .
г) Соответствие инъективно, так как не содержит пар с различными первыми и одинаковыми вторыми координатами.
5. Построим соответствие между конечными множествами, обладающее набором свойств, противоположным исходному, то есть такое, чтобы оно было всюду определено, сюръективно, функционально, не инъективно.
Пусть , , . Векторная диаграмма данного соответствия представлена на рис. 2.8.
а) Данное соответствие всюду определено, так как .
б) Соответствие сюръективно, так как .
в) Соответствие функционально, так как оно не содержит пар с одинаковыми первыми и различными вторыми координатами.
г) Соответствие не инъективно, так как содержит две пары и с одинаковыми вторыми и различными первыми координатами.
Так как построенное соответствие всюду определено, сюръективно и функционально, то оно является отображением на .
5. Дано отношение , заданное на множестве (табл. 2.2).
1. Выяснить, какими из свойств: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность обладает отношение , заданное на множестве .
2. Построить на конечном множестве отношение, обладающее таким же набором свойств, что и данное.
3. Построить на бесконечном множестве отношение, обладающее набором свойств, противоположным данному. В случае невозможности построения доказать противоречивость набора требований.
Пример решения задания 5
Вариант 9
1. Выясним, какими свойствами обладает данное отношение.
Таблица 2.2
Варианты задания 4
Вариант | ||
Множество студентов ВУЗа | , и учатся на одном факультете | |
Множество окружностей на плоскости | , касается | |
Жители страны на начало этого года | , и – супруги | |
Жители страны на начало этого года | , и состоят в одной и той же политической партии | |
Прямые в пространстве | , и имеют хотя бы одну общую точку | |
, и имеют одинаковый остаток от деления на 5 | ||
, | ||
Читатели библиотеки вашего ВУЗа | , и прочитали одну и ту же книгу | |
Множество теннисистов турнира, в котором каждый должен сыграть 3 партии | , обыграл порезультатам личных встреч |
1) Отношение не является рефлексивным, так как не может обыграть сам себя.
|
|
2) Отношение является антирефлексивным, так как каждый теннисист не обыграл сам себя (не выполняется рефлексивность).
3) Отношение не является симметричным, так как найдется пара теннисистов и такая, что обыграл по очкам в личных встречах, а не обыграл .
4) Отношение является антисимметричным, так как если обыграл , то обязательно не обыграл (не выполняется симметричность).
5) Отношение не является транзитивным, так как может сложиться ситуация, когда обыграл , обыграл , и в то же время обыграл .
6) Отношение является связным, так как любая пара спортсменов должна сыграть между собой и выявить победителя.
2. Построим на конечном множестве отношение, обладающее
таким же набором свойств, что и данное.
Пусть конечное множество равно , а отношение . Изобразим это отношение в виде графа (рис. 2. 8).
1) Это отношение не является рефлексивным, так как .
2) Отношение антирефлексивно, так как , , .
3) Отношение не симметрично, так как и .
4) Отношение антисимметрично, так как и , и , и .
5) Отношение не транзитивно, так как и но .
6) Отношение связно, так как любая пара различных элементов из множества вступает в отношение в том или ином порядке.
3. Построим на бесконечном множестве отношение, обладающее набором свойств, противоположным исходному, то есть рефлексивное и не антирефлексивное, симметричное и не антисимметричное, транзитивное и не связное.
Пусть , и отношение означает, что и имеют одинаковую дробную часть. Тогда это отношение будет обладать следующими свойствами.
1. Отношение рефлексивно, так как любое число имеет одинаковую дробную часть само с собой.
2. Отношение не антирефлексивно, так как найдется число, например, 2,34, имеющее одинаковую дробную часть само с собой.
|
|
3. Отношение симметрично, так как если и имеют одинаковую дробную часть, то и также имеют одинаковую дробную часть.
4. Отношение не антисимметрично, так как, например, числа 2,35 и 3,35 не равны, и в то же время они находятся в отношении 2, 35 3, 35 и 3,35 2,35.
5. Отношение является транзитивным, так как если и имеют одинаковую дробную часть, и имеют одинаковую дробную часть, то и также имеют ту же самую дробную часть.
6. Отношение не связно, так как, например, числа 3,1 и 1,6 не равны, но и .
Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, значит, оно является отношение эквивалентности.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дать определение декартова (прямого) произведения. В каком виде оно задается? Представить его геометрически.
2. Какой закон выполняется для декартова произведения множеств? Записать его.
3. Что такое кортеж и чему равна его длина? Примеры кортежей. Основные отличия понятий кортежа и множества.
4. Что называется степенью декартова произведения? Что представляют собой проекции кортежей на оси, их обозначения, как определяются проекции?
5. Дать определение соответствия между множествами А и В, привести его обозначение. Что предполагает соответствие?
6. Привести графическое изображение соответствия на примерах.
7. Дать определение образа и прообраза элемента, области определения и области значений соответствия, всюду определенного и сюръективного соответствия, инъективного и функционального соответствия.
8. Что такое взаимнооднозначное соответствие, биекция, отображения в и на , равномощные, счетные и континуальные множества?
9. Привести геометрическую иллюстрацию и примеры соответствий.
10. Дать определение отношений, как они называются в зависимости от числа связей между ними? Какое отношение называется бинарным? Привести примеры отношений.
11. Как задается с помощью матриц бинарное отношение? Привести примеры.
12. Что понимают под рефлексивным и антирефлексивным отношением, как записываются эти свойства? Примеры.
13. Какие отношения обладают свойством симметричности и антисимметричности, их запись? Примеры.
14. Дать определения транзитивного и связного отношения, их запись и привести примеры.
15. Что такое транзитивное замыкание отношений? Привести его запись.
16. С помощью каких выражений определяются свойства бинарных отношений?
17. Что такое отношения частичного, линейного, строгого и строгого линейного порядка?
18. Какие отношения являются отношениями эквивалентности, их свойства? Что такое фактор-множества, индекс разбиения, примеры отношений эквивалентности.
19. Какие отношения являются отношениями строгого и нестрогого порядка, линейно и частично упорядоченными множествами? Привести примеры.
20. Дать определение функциональных отношений.