Симметрия двухслойной и трехслойной плотнейших упаковок одинаковых шаров

Как двухслойная, так и трехслойная упаковки состоят из плотноупакованных слоев, обладающих симметрией p6mm, сдвинутых относительно друг друга. Следовательно, симметрию двухслойной и трехслойной упаковок можно получить, рассматривая процессы симметризации и диссимметризации при наложении друг на друга плотноупакованных слоев.

Буквенный символ двухслойной плотнейшей упаковки

… АВАВАВА... или … ВАВАВАВ …

инвариантен относительно зеркального отражения всей последовательности букв относительно плоскости симметрии, проходящей через любую букву А или В символа. Это значит, что вся бесконечная двухслойная плотнейшая упаковка одинаковых щаров инвариантна относительно зеркальных плоскостей симметрии, проходящих через слои А и В перпендикулярно осям 3-го порядка плотноупакованных слоев.

Сравним вид двухслойной упаковки на рис. 3 и график двумерной группы p 6 mm на рис.2. Основанием примитивной элементарной ячейки является ромб из четырех соседних шаров с углом при острой вершине 60°, ребра которого являются элементарными трансляциями, а и b. Трансляция с направлена перпендикулярно к плотноупакованным слоям. Ее длина равна расстоянию от первого до третьего слоя. С помощью несложного геометрического построения с учетом того, что параметр решетки а равен диаметру шара, а параметр с — удвоенной высоте тетраэдра (см. рис.5a), можно показать, что длина трансляции с относится к длине трансляции а (или b) как с / а = 2√2/3 ≈ 1,633...

На рис.3 видно, что через каждую пустоту двухслойной упаковки проходит ось симметрии 3-го порядка. На рис. 8 изображены шесть шаров, которые образуют октаэдрическую пустоту. Нетрудно видеть, что три нижних и три верхних шара могут быть связаны комбинацией поворота на 60° и параллельного переноса на один слой вверх, т. е на половину трансляции с. Это означает, что кроме поворотной оси 3-го порядка через октаэдрические пустоты перпендикулярно к плотноупакованным слоям проходит трехзаходная винтовая ось 6-го порядка 6₃(z). Можно также заметить, что такая ось характерна не только для системы из шести шаров, образующих октаэдрическую пустоту, но и для всей двухслойной упаковки в целом.

Рассмотрим плоскости симметрии, характерные для двухслойной плотнейшей упаковки. Из сравнения рис.2 и 3 следует, что зеркальные плоскости, содержащие оси 3-го порядка и характерные для плотноупакованного слоя, присутствуют и в трехмерной двухслойной упаковке. Перемножая винтовой поворот 6₃(z) и зеркальные отражения в плоскостях симметрии, проходящих через винтовую ось, мы получим скользящие отражения в плоскостях типа с, параллельных винтовой оси. Например:

Здесь символом {m_x,30˚|c/2} обозначена плоскость скользящего отражения, составляющая угол 30° с зеркальной плоскостью m_x.

a b

Рис.8. Шары, образующие октаэдрическую пустоту (о), и трехзаходная винтовая ось 6-го порядка в двухслойной плотнейшей упаковке одинаковых твердых шаров (б)

Рис.9. Зеркальные (m) и скользящие (с) плоскости симметрии в двухслойной плотнейшей упаковке одинаковых твердых щаров

На рис.9 показано взаимное расположение зеркальных и скользящих плоскостей симметрии в двухслойной плотнейшей упаковке.

Умножая поворот вокруг винтовой оси 2₁¹(z), которая входит в состав оси 6₃, на отражение в плоскости m_z, получим, что вся двухслойная упаковка инвариантна также относительно инверсии в точках на оси 6₃, смещенных относительно m_z на с/4. Эти центры инверсии располагаются в геометрических центрах октаэдрических пустот.

Пользуясь правилами записи обозначений пространственных групп, можно записать символ пространственной группы двухслойной плотнейшей упаковки одинаковых шаров как Р mc. Полный график этой группы и полный набор ее правильных систем точек приведен на рис.10 и в табл.5.

Рис.10. График пространственной группы Р mc

Двухслойная упаковка принадлежит к гексагональной сингонии, и ее часто называют гексагональной плотнейшей упаковкой или сокращенно ГПУ. Обратим внимание на то обстоятельство, что пространственная группа симметрии Р mc трехмерной двухслойной упаковки не совпадает с группой p 6 mm симметрии плотноупакованного слоя, что может служить иллюстрацией явлений симметризации и диссимметризации составных систем, о котором шла речь в гл. 2.

Обратимся к анализу симметрии трехслойной плотнейшей упаковки. Прежде всего заметим, что трехслойная упаковка так же инвариантна относительно осей 3-го порядка, как и плотноупакованный слой. В отличие от двухслойной упаковки, последовательности буквенных символов... ABC ABC ABC..., равно как и эквивалентные последовательности... СABCABCАВ... и... СABCABCABC... не инвариантны относительно отражения, поэтому трехслойная упаковка не имеет плоскости симметрии, перпендикулярной осям 3-го порядка.

На рис. 11а показан фрагмент трехслойной упаковки; стрелкой показано направление, перпендикулярное к плотноупакованным слоям А, В и С. Из рисунка видно, что выделенный фрагмент инвариантен относительно оси 4-го порядка (показана на рис.11а квадратом).

Рис.11. Фрагмент трехслойной плотнейшей упаковки (а) и вид неплотноупакованных слоев, с помощью которых можно выложить трехслойную плотнейшую упаковку в направлении оси 4-го порядка (б, в)

Таблица5. Правильные системы точек пространственной группы Р mc

	l		x,y,z y̅,x-y,z y-x,x̅,z y̅,x̅,z x,x-y,z y-x,y,z x̅,y̅,z̅ y,y-x,z̅ x-y,x,z̅ y,x,z̅ x̅,y-x,z̅ x-y,y̅,z̅ x̅,y̅, +z y,y-x, + z x-y,x, + z x,y, -z y̅,x-y, -z y-x,x̅, -z y,x, +z x̅,y-x, +z x-y,y̅, +z y̅,x̅, -z x,x-y, –z y-x,y, -z
	к	т	x,2x,z 2x̅,x̅,z x,x̅,z x̅,2x̅,z̅ 2x,x,z̅ x̅,x,z̅ x̅,2x̅, +z 2x,x, +z x̅,x, +z, x,2x, -z 2x̅, x̅ - z x,x̅, -z
	j	т	x,y, y̅,x-y, y-x,x̅, y̅,x̅, x,x-y, y-x,y, x̅,y̅, y,y-x, x-y,x, y,x, x̅,y-x, x-y,y̅,
	i		x,0,0 0, x,0 x̅,x̅,0 x,0, 0, x, x̅, x̅, x̅,0,0 0, x̅,0 x,x,0 x̅,0, 0, x, x,x,
	h	тт	x,2x, 2 x̅, x̅, x,x̅, , x̅, 2 x ̅, 2 x, x, x̅,x,
	g		,0,0 0, ,0 , ,0 ,0, 0, , , ,
	е	Зт	0,0, z 0,0, z̅ 0,0, + z 0,0, -z
	f	Зт	, ,z , , z̅ , , +z , , -z
	d	6m2	, , , ,
	с	6m2	, , , ,
	b	6m2	0,0, 0,0,
	а	3m	0,0,0 0,0,

Показанная часть упаковки полностью окружает (координирует) центральный шар. Поэтому, если принять, что все шары упаковки симметрично эквивалентны, то мы придем к выводу, что ось 4-го порядка характерна для всей рассматриваемой упаковки. Наличие осей 3-го порядка и 4-го порядка сразу же позволяет отнести трехслойную плотнейшую упаковку одинаковых шаров к кубической сингонии. Поэтому данную упаковку часто называют кубической упаковкой.

Рис.12. Фрагмент трехслойной плотнейшей упаковки, образованной с помощью неплотноупакованных слоев квадратной упаковки

Рассмотрим трехслойную упаковку в несколько ином аспекте. Из рис.11 б видно, что в направлении, перпендикулярном оси 4-го порядка, данную упаковку можно представить в виде совокупности неплотноупакованных слоев двух видов. Если обозначить слои, показанные на рис.11 б, буквой а, а слои на рис.11 в буквой β, то трехслойную плотнейшую упаковку можно выложить слоями... αβαβαβ... Такие неплотные упаковки на плоскости обычно называют квадратными. Заметим, что при создании трехслойной плотнейшей упаковки неплотноупакованные слои α и β укладываются «плотно», т. е. так, чтобы каждый шар касался 12-ти соседей.

На рис.12 приведен фрагмент βαβ трехслойной плотнейшей упаковки. Здесь явно видна кубическая симметрия упаковки, причем можно сразу обнаружить наличие плоскостей симметрии,

Рис.13. График пространственной группы симметрии Fm3m:

Показана одна четвертая часть полного графика группы

что позволяет отнести пространственную группу симметрии кубической плотнейшей упаковки к классу О_h. Более того, приведенный фрагмент представляет собой кубическую элементарную ячейку, отвечающую гранецентрированной решетке с симморфной пространственной группой Fm3m. Плотноупакованные слои на этом рисунке располагаются перпендикулярно направлениям {111] — телесным диагоналям кубической элементарной ячейки. На рис.13 приведен график пространственной группы Fm3m, а в табл.6 — координаты ее общих и частных правильных систем точек.

Таблица 6. Правильные системы точек пространственной группы Fm3m

	l		x,y,z x̅,y̅,z x̅,y,z̅ x,y̅,z̅ z,x,y z,x̅,y̅ z̅,x̅,y z̅,x,y̅ y,z,x y̅,z,x̅ y,z̅,x̅ y̅,z̅,x y,x,z̅ y̅,x̅,z̅ y,x̅,z y̅,x,z x,z,y̅ x̅,z,y x̅,z̅,y̅ x,z̅,y z,y,x̅ z,y̅,x z̅,y,x z̅,y̅,x̅ x̅,y̅,z̅ x,y,z̅ x,y̅,z x̅,y,z z̅,x̅,y̅ z̅,x,y z,x,y̅ z,x̅,y y̅,z̅,x̅ y,z̅,x y̅,z,x y,z,x̅ y̅,x̅,z y,x,z y̅,x,z̅ y,x̅,z̅ x̅,z̅,y x,z̅,y̅ x,z,y x̅,z,y̅ z̅,y̅,x z̅,y,x̅ z,y̅,x̅ z,y,x
	k	m	x,x,z x̅,x̅,z x̅,x,z̅ x,x̅,z̅ z,x,x z,x̅,x̅ z̅,x̅,x z̅,x,x̅ x,z,x x̅,z,x̅ x,z̅,x̅ x̅,z̅,x x,x,z̅ x̅,x̅,z̅ x,x̅,z x̅,x,z x,z,x̅ x̅,z,x x̅,z̅,x̅ x,z̅,x z,x,x̅ z,x̅,x z,x,x z̅,x̅,x̅
	j	m	0,y,z 0,y̅,z 0,y,z̅ 0,y̅,z̅ z,0,y z,0,y̅ z̅,0,y z̅,0,y̅ y,z,0 y̅,z,0 y,z̅,0 y̅,z̅,0 y,0,z̅ y̅,0,z̅ y,0,z y̅,0,z 0,z,y̅ 0,z,y 0,z̅,y̅ 0,z̅,y z,y,0 z,y̅,0 z̅,y,0 z̅,y̅,0
	i	mm2	, y,y , y̅,y , y,y̅ , y̅,y̅ y, , y y, , y̅ y̅, , y y̅, , y̅ y,y, y̅,y, y,y̅, y̅,y̅,
	h	mm2	0,y,y 0,y̅,y 0,y,y̅ 0,y̅,y̅ y,0,y y,0,y̅ y̅,0,y y̅,0,y̅ y,y,0 y̅,y,0 y,y̅,0 y̅,y̅,0
	g	mm2	x, , x̅, , x̅ x, ,
	f	3m	x,x,x x̅,x̅,x x̅,x,x̅ x,x̅,x̅ x,x,x̅ x̅,x̅,x̅ x,x̅,x x̅,x,x
	e	4mm	x,0,0 x̅,0,0 0,x,0 0,x̅,0 0,0,x 0,0,x̅
	d	mmm	0, , 0,
	c	4̅3m
	b	m3m
	a	m3m	0,0,0