Задача 1.3

Подставляя , получаем , ,

В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым — стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:

А — стрелок поразит мишень;

— стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом;

— стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.

Используем формулу полной вероятности .

Имеем

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно (для ) и (для ); таким образом, , .

Условные вероятности заданы в условии задачи:

и .

Следовательно,

0.

Ответ: Р(А) = 0.515.

Задача 1.4. Подставляя , получаем , , ,

В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами - изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым - работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:

А — электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;

— монтер возьмет двигатель из продукции 1-го завода;

— монтер возьмет двигатель из продукции 2-го завода;

− монтер возьмет двигатель из продукции 3-го завода.

Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности:

Условные вероятности заданы в условии задачи:

, и .

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

, , .

0.

По формуле Бейеса вычисляем условные вероятности событий (гипотез) , , :

Ответ: , , .

Задача 1.5. В каждом из 11 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,3. Вычислить все вероятности , , где k — частота события А. Построить график вероятностей . Вычислить наивероятнейшую частоту.

Задано: п = 11, р = 0,3, q = 1 — р = 0,7.

Найти:

Используем формулу Бернулли и формулу вычисления последующего значения через предыдущее значение : . Значение вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности — по второй.

В рекуррентном соотношении вычисляем постоянный множитель

= 0,4285714, = 0,0197732.

Результаты вычислений запишем в табл. 2. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство .

Таблица 2.

k
	−	0,0197732
	11/1	0,0932168
	10/2	0,1997503
	9/3	0,2568218
	8/4	0,2201330
	7/5	0,1320798
	6/6	0,0566056
	5/7	0,0173282
	4/8	0,0037131
	3/9	0,0005304
	2/10	0,0000454
	1/11	0,0000017
	−	0,9999994

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Рис. 1. График вероятностей

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

Значит, наивероятнейшая частота k = 3 и, как и было получено ранее, значение является максимальным.

Задача 1.6. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 220 раз;

б) точно 190 раз;

в) меньше чем 240 и больше чем 180 раз;

г) меньше чем 235 раз.

При решении этой задачи используем теоремы Муавра — Лапласа: локальную в случаях а) и б) и интегральную для случаев в) и г).

а) Задано: п = 500, р = 0,4, k = 220.

Найти: .

Имеем:

б) Задано: п = 500, р = 0,4, k = 190.

Найти: .

Получаем:

в) Задано: п = 500, р = 0,4, a = 190, b = 240.

Найти: .

Находим:

г) Задано: п = 500, р = 0,4, a = 0, b = 235.

Найти: .

Имеем:

Задача 1.7. Случайная величина X задана рядом распределения

X
P	0,14	0,20	0,49	0,17

Найти функцию распределения F(х) случайной величины X и построить ее график. Вычислить для X ее среднее значение M(Х), дисперсию D(Х) и моду Мо.

Функцию распределения находим по формулам для дискретных случайных величин:

и

Построим график функции распределения (рис. 2).

Рис. 2. График функции распределения.

Среднее значение M(Х) вычисляем по формуле :

M(Х) = 3 ∙ 0,14 + 5 ∙ 0,2 + 7 ∙ 0,49+ 11 ∙ 0,17 = 6,72.

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулами

и :

∙ 0,14 + 0,2 + 0,49+ 0,17 = 50,84,

D(Х) = 50,84 — = 5,6816.

Моду Мо найдем по максимальной вероятности Мо = 7.

Задача 1.8. Случайная величина X задана функцией плотности вероятности

Значения параметров К и R вычислены по следующим формулам:

K=2 + V = 2+0 =2, R = 2∙К = 4.

Найти функцию распределения F(х) случайной величины X. Построить графики функций и . Вычислить для X ее среднее значение M(Х), дисперсию D(Х), моду Мо и медиану Ме.

Функцию распределения непрерывной случайной величины находим по формуле: , где − функция плотности вероятности.

Поэтому

Построим графики функций и (рис.3 и рис.4)

Рис. 3. График функции плотности вероятности .	Рис.4. График функции распределения .