Решение. Вернувшись к решению примера 1.20, видим, что в каждом ряду, в строке перестановок использованы одни и те же буквы

Вернувшись к решению примера 1.20, видим, что в каждом ряду, в строке перестановок использованы одни и те же буквы. Каждый ряд представляет возможные комбинации из трех букв. Количество комбинаций из 5 букв, взятых по 3, равно 10. Отметим, что число перестановок трех букв равно:

з_р 3! 31 3!

³⁼(3-3)! ⁼ 0Г t ^{= 0}

Обозначив число комбинаций из 5 элементов, взятых по 3 С$, получим:

, ⁵Р, 5! /2! 5!

⁵С₃ = — ⁱ = = = 10.

³Р₃ 3! 3! х 2!

Итак, что же получится если обобщить решение этой задачи, каково число комбинаций п элементов, взятых по 3 за раз?

п_с "Рз р'/(п-3)1nl

³Р₃ 3! 3! х (п - 3)!

Теперь мы можем записать формулу числа сочетаний из п элементов, взятых по г. В общем виде это выглядит так:

^ПР_Г п! /(п - г)1 п!

"С = —- ^ =.

^ГР_Г г! г! х (п - г)!

Использование перестановок и сочетаний для вычисления вероятности

О Пример 1.22. Вернемся к примеру 1.14. Совет директоров компании состоит из трех бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Во вновь создаваемый подкомитет должны войти три человека. Необходимо найти вероятность того, что подкомитет будет состоять полностью из бухгалтеров.

Решение.

Число сочетаний трех бухгалтеров из трех бухгалтеров равно:

■w ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

Следовательно, вероятность того, что все члены подкомитета будут бухгалтерами, равна:

³С __2 1

⁸С ^{= 56} ' т.е. тот же результат, что и в примере 1.14.

LJ Пример 1.23. Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести научных сотрудников необходимо случайным отбором сформировать комитет из десяти человек. Какова вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четверо научных сотрудников? Решение.

Число сочетаний для одного бухгалтера

Число сочетаний для пяти менеджеров

Число сочетаний для четырех ученых

Число сочетаний для десяти человек ^,7С,₀ = '," = 19448.

Следовательно, итоговая вероятность формирования комитета заданного состава равна:

³С, х ⁸C_S х ⁶С₄ 3 х 56 х 15

—= = 0,130.

^,7С,₀ 19448

РЕЗЮМЕ

Теория вероятностей имеет дело с понятием неопределенности. При проведении эксперимента мы знаем все возможные исходы, однако не все они произойдут. Ответ на вопрос, каковы же шансы реализации того или иного исхода, дает вероятность.

Событие — это один или несколько исходов, которые нас интересуют. Числен­ные границы вероятности — от 0 до 1 включительно. Сумма вероятностей всех возможных исходов (вероятность полной группы событий) всегда равна 1. Веро­ятность определяется или на основе свойства симметрии эксперимента, или путем повторения измерений, или на основе субъективной оценки.

Существуют два основных правила подсчета вероятности: правило сложения и правило умножения вероятностей. Правило сложения вероятностей применяется для вычисления вероятности появления события А или В, или обоих вместе:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Гл. 1. Основы теории вероятностей 31

Для несовместимых событий формула преобразуется в следующую:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Правило умножения вероятностей применяется, когда события происходят вместе:

Р(АВ) = Р(А) х Р(В/А).

Для независимых событий эта формула преобразуется в следующую:

Р(АВ) = Р(А) х Р(В).

Перед вычислением вероятности необходимо составить список всех возможных исходов эксперимента. Лучше всего изобразить их графически, для чего используются таблицы, диаграммы в виде «деревьев», диаграммы Венна. Только после этого приступают к расчетам.

Расчет по формуле Байеса применяется с целью модификации вероятности в случае, когда появилась новая дополнительная информация. Этот расчет основан на правиле умножения вероятностей:

Математическое ожидание определяется следующим образом:

Е(х) = ]£рх.

Мы можем решить — проводить эксперимент или нет, вычислив среднюю величину.

Для определения числа возможных вариантов выборки г элементов из группы в п элементов используются перестановки и сочетания.

Перестановки:

"Р_г =--------- — — порядок отбора элементов важен.

Сочетания:

^ПС_Г = —г~. ------ ГГ ^— порядок отбора элементов не важен.

^г г! (п - г)!