Вернувшись к решению примера 1.20, видим, что в каждом ряду, в строке перестановок использованы одни и те же буквы. Каждый ряд представляет возможные комбинации из трех букв. Количество комбинаций из 5 букв, взятых по 3, равно 10. Отметим, что число перестановок трех букв равно:
зр 3! 31 3!
3=(3-3)! = 0Г t = 0
Обозначив число комбинаций из 5 элементов, взятых по 3 С$, получим:
, 5Р, 5! /2! 5!
5С3 = — i = = = 10.
3Р3 3! 3! х 2!
Итак, что же получится если обобщить решение этой задачи, каково число комбинаций п элементов, взятых по 3 за раз?
пс "Рз р'/(п-3)1nl
3Р3 3! 3! х (п - 3)!
Теперь мы можем записать формулу числа сочетаний из п элементов, взятых по г. В общем виде это выглядит так:
ПРГ п! /(п - г)1 п!
"С = —- ^ =.
ГРГ г! г! х (п - г)!
Использование перестановок и сочетаний для вычисления вероятности
О Пример 1.22. Вернемся к примеру 1.14. Совет директоров компании состоит из трех бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Во вновь создаваемый подкомитет должны войти три человека. Необходимо найти вероятность того, что подкомитет будет состоять полностью из бухгалтеров.
|
|
Решение.
Число сочетаний трех бухгалтеров из трех бухгалтеров равно:
= 56 |
3С ■ | л | |||||
31(3- | -3)! | |||||
Число сочетаний | из | чел. | . по 3 8С - | равно: 8! | ||
31(8- | 3)1 |
■w ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации
Следовательно, вероятность того, что все члены подкомитета будут бухгалтерами, равна:
3С __2 1
8С = 56 ' т.е. тот же результат, что и в примере 1.14.
Зс, *с4 ,7С,с | Л | = 3. = 56. = 15. | |
11(3-8! | 1)! | ||
51(8-61 | 5)! | ||
4! (6 - 4)! 17! | |||
•~ 101(17- 1 | 10)! |
LJ Пример 1.23. Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести научных сотрудников необходимо случайным отбором сформировать комитет из десяти человек. Какова вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четверо научных сотрудников? Решение.
Число сочетаний для одного бухгалтера
Число сочетаний для пяти менеджеров
Число сочетаний для четырех ученых
Число сочетаний для десяти человек ,7С,0 = '," = 19448.
Следовательно, итоговая вероятность формирования комитета заданного состава равна:
3С, х 8CS х 6С4 3 х 56 х 15
—= = 0,130.
,7С,0 19448
РЕЗЮМЕ
Теория вероятностей имеет дело с понятием неопределенности. При проведении эксперимента мы знаем все возможные исходы, однако не все они произойдут. Ответ на вопрос, каковы же шансы реализации того или иного исхода, дает вероятность.
Событие — это один или несколько исходов, которые нас интересуют. Численные границы вероятности — от 0 до 1 включительно. Сумма вероятностей всех возможных исходов (вероятность полной группы событий) всегда равна 1. Вероятность определяется или на основе свойства симметрии эксперимента, или путем повторения измерений, или на основе субъективной оценки.
|
|
Существуют два основных правила подсчета вероятности: правило сложения и правило умножения вероятностей. Правило сложения вероятностей применяется для вычисления вероятности появления события А или В, или обоих вместе:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
Гл. 1. Основы теории вероятностей 31
Для несовместимых событий формула преобразуется в следующую:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Правило умножения вероятностей применяется, когда события происходят вместе:
Р(АВ) = Р(А) х Р(В/А).
Для независимых событий эта формула преобразуется в следующую:
Р(АВ) = Р(А) х Р(В).
Перед вычислением вероятности необходимо составить список всех возможных исходов эксперимента. Лучше всего изобразить их графически, для чего используются таблицы, диаграммы в виде «деревьев», диаграммы Венна. Только после этого приступают к расчетам.
Расчет по формуле Байеса применяется с целью модификации вероятности в случае, когда появилась новая дополнительная информация. Этот расчет основан на правиле умножения вероятностей:
Математическое ожидание определяется следующим образом:
Е(х) = ]£рх.
Мы можем решить — проводить эксперимент или нет, вычислив среднюю величину.
Для определения числа возможных вариантов выборки г элементов из группы в п элементов используются перестановки и сочетания.
Перестановки:
"Рг =--------- — — порядок отбора элементов важен.
Сочетания:
ПСГ = —г~. ------ ГГ — порядок отбора элементов не важен.
г г! (п - г)!