Математическое ожидание

Рассмотрим теперь только те эксперименты, результаты которых имеют численное значение. Например, бросив монету 10 раз, зафиксируем выпавшее число «решек».

При многократном повторении эксперимента можно вычислить среднее значение величины. Среднее значение величины (полученное при неограниченно большом числе опытов) иначе называется математическим ожиданием Е(х). Метод определения математического ожидания имеет много общего с нахождением среднего значения частотного распределения, которое выглядит так:

Если значения частот f заменить на относительные частоты (или вероятности) р, то мы получим среднюю, или математическое ожидание:

Е(х)-^-.

Так как £ Р = 1. то Е (х) = ]Г рх.

О Пример 1.18. Стандартная монета брошена 4 раза. Каково ожидаемое число «решек»?

Решение.

Возможны 16 исходов:

(рррр, ррро, ррор, рорр, oppp, ppoo, poop, оорр, орор, роро, орро, рооо, ороо, ооро, ооор, оооо).

Вероятность каждого из исходов равна 1/16. Поэтому

Р (0 «решек» за 4 броска) - 1/16; Р (1 «решха» за 4 броска) = 4/16; Р (2 «решки» за 4 броска) = 6/16; Р (3 «решки» за 4 броска) =4/16; Р (4 «решки» за 4 броска) = 1/16; Общая вероятность = 16/16 = 1.

Следовательно, ожидаемое количество «решек» за 4 броска равно:

E(x)=£p*=-ji^x0+-i!*i⁺-^*²⁺i!*³⁺ii*⁴ = ²-

^т-в. ожидаемое количество «решек» равно 2.

Гл. 1. Основы теории вероятностей 27

□ Пример 1.19. Вероятность того, что игрок выиграет 1000 ф. ст. составляет 0,1.
Вероятность выигрыша 500 ф. ст. равна 0,2. В случае проигрыша ему нужно будет
уплатить 300 ф. ст. Какова ожидаемая прибыль от игры?

Решение

Вероятность проигрыша = 1 - Р (выигрыш) =

= 1 -(0,1 +0,2) =

= 1 -0,3 = 0,7. Ожидаемая прибыль такова:

Е (х) = £ Р* - °Л ^{х ,(}W + 0,2 х 500 + 0,7 х (-300) = -10 ф. ст. за игру.

Таков средний размер убытка за одну игру, если играется множество игр при идентичных условиях. В каждой отдельной игре игрок может выиграть 1000, 500 ф. ст. или проиграть 300 ф. ст., но при большом количестве игр убыток составит 10 ф. ст. в расчете на одну игру.

Математическое ожидание помогает определить необходимость проведения эксперимента, так как при большом значении математического ожидания экспери­мент целесообразен (см. гл. 3).