Гл. 2. Вероятностные распределения

Р (г 2. 5) = 1 - Р (г S 5) •= 1 - (Р (г = 0) + Р (г = 1) + Р (г = 2) + Р(г = 3) + Р (г = 4)|;

Р (0) = 0,01° х 0.99⁵⁰⁰ х gg^ = 0.99⁵⁰⁰ = 0,00657;

Р (1) = 0,01' х 0,99⁴⁹⁹ х ₄^⁾'_1| = 0,01 х 0,99⁴⁹⁹ х 500 = 0,03318;

Р (2) = 0.01² х 0.99^<9в х ^L. о,01² х 0.99^ ж Ц±& = 0,08363;

Р (3) - 0.01³ х 0,99^w х -М- = 0.01³ х 0,99*" х 500x499x498 ₌ •

J1 3x2x1

Р (4) = 0,01< х 0.99* х J$-. 0.01* х 0.99<* х 500x499x498x497 ₌
49Ы 41 4x3x2x1

Всего 0,43961.

Отсюда

Р(г ^ 5) = 1 - {0,43961} = 0, 56039

(до пяти знаков после запятой),

Вероятность, что придется заменять 5 или больше калькуляторов,равна 0,560 (до трех знаков после запятой).

б) Расчеты с использованием распределения Пуассона:

m = пр = 500 х 0,01 = 5.

Вероятность г бракованных изделий в выборке приблизительно равна:

Р(г) = ^-, г = 0, 1,2,3,....

Отсюда

Р (г * 5) = 1 - (Р (г = 0) + Р (г = 1) + Р (г» 2) + Р (г - 3) + Р (г = 4)};
Р (0) = е^-5 =0,00674;

Р (1) = е^-5 х 5¹ - Р (0) х 5 = 0,03369;

Р (2) - е"⁵ х |f - Р (1) х | = 0,08422;

^ 5³ 5

Р(3)-е^_5х^ = Р(2)х| =0,14037;

56 _____ Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

Г4 г

Р (4) = е^-5 х ^г - Р (3) х у = 0,17547;
4! 4

Всего: 0,44049.

Отсюда

P(r Z 5) = 1 - 0,44049 = 0,55951

(до пяти знаков после запятой).

Вероятность, что 5 или больше калькуляторов придется заменить, равна 0,560 (до трех знаков после запятой). С такой точностью результат совпадает с тем, что мы получили в пункте (а), используя биномиальное распределение.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Непрерывная случайная величина и плотность ее вероятности

В предыдущих параграфах этой главы мы рассмотрели вероятностное распределе­ние дискретной случайной величины. Остальные разделы посвящены равномерно­му и нормальному распределению непрерывных случайных величин. Если в ходе эксперимента все значения случайной величины оказываются на определенном замкнутом участке и могут принимать в нем любые значения, то значит мы имеем дело с непрерывной случайной величиной. Непрерывная случайная величина имеет специфику в распределении вероятностей.

Например, если измерить объемы производимых заводом пластмассовых буты­лок для сока, которые должны быть равны 200 мл, то полученные цифры окажутся на каком-то определенном интервале, допустим, от 190 до 210 мл. В данном случае непрерывная случайная величина будет иметь неограниченное множество значений в этих пределах. Получим функцию распределения вероят­ностей для непрерывной случайной величины. Предположим, мы имеем непрерыв­ную случайную величину X, которая принимает значение х в интервале х, и х₂, для которого функция вероятности является непрерывной, то функция распреде­ления непрерывной случайной величины равна f(x), х, < х < х₂.

График функции распределения непрерывной случайной величины представ­ляет собой кривую, в отличие от линейной диаграммы для распределения дискрет­ной случайной величины.