Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона

Математическое ожидание (или среднее число "успехов" на каком-то интервале) может быть определено по данным конкретной ситуации. Если найдено математи­ческое ожидание, то и дисперсия известна, так как одно из свойств распределения вероятностей Пуассона состоит в следующем:

54 Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

Математическое ожидание = Дисперсия.

Отсюда стандартное отклонение числа "успехов" на интервале равно:

Стандартное отклонение = VДисперсия = V Математическое ожидание.

Это свойство полезно в тех случаях, когда имеются данные о случайной величине и требуется узнать, применимо или нет распределение Пуассона.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА КАК АППРОКСИМАЦИЯ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

При определенных обстоятельствах распределение Пуассона может быть исполь­зовано как замена биномиального распределения. Как, например, в примере 2.6, где расчеты могут отнять много времени при использовании биномиального рас­пределения. Если же условия позволяют, то расчеты можно произвести, восполь­зовавшись распределением Пуассона. Тогда гораздо легче мы получим почти тот же результат. Аппроксимация биномиального распределения Пуассона дает хоро­шие результаты, если имеются:

1. Большое количество опытов; т.е. п — большое, предпочтительно a i. 30;

2. Малая вероятность "успеха" в каждом опыте; т.е. р — маленькое,
предпочтительно р £ 0,10;

3. Предполагаемое количество "успехов" меньше пяти; т.е. пр £ 5.

В этих обстоятельствах распределение Пуассона со средним m=pn вполне может бьгя> использовано вместо биномиального распределения. Чем больше п и меньше р, тем точнее результат. В § 2.8 мы рассмотрим пример, как поступать с биномиальными расчетами при большом р. В этом случае для замены может быть использовано нормальное распределение.

О Пример 2.10. Производители карманных калькуляторов знают из опыта работы, что 1% произведенных и проданных калькуляторов имеют дефекты и их должны заменить по гарантии. Большая аудиторская фирма купила 500 кальку­ляторов. Какова вероятность, что пять или больше калькуляторов нужно будет заменить?

Решение.

Ситуация прекрасно укладывается в рамки биномиального распределения:

п = 500, р = 0,01, q = 0,99, пр = 5.

Так как п — большое, р — маленькое, а пр — меньше или равно пяти, то в качестве замены биномиального распределения может быть использовано распре­деление Пуассона.

а) Расчеты с использованием биномиального распределения, вероятности г дефектов в выборке дали следующие результаты:

P(r)«^S0cC_rx0,0Гx0,99⁵⁰⁰"^,; г=0, 1,2.................... 500;