Считается, что спрос на телефонные разговоры беспорядочно распределен во времени

3. Считается, что среднее число телефонных разговоров в любом 5-минут­ном отрезке времени одинаково.

В этом примере среднее число заказов равно 3 за 5 минут. Отсюда, распреде­ление Пуассона:

З^ге"³ Р (г заказов за 5 минут) = —:—, г = 0, 1, 2, 3, 4,....

52 Ч. I. Принятие решений в условиях недостатка информации

3° е"3 1

Р (0 заказов за 5 минут) = Р (0) = = - х 0,0498 - 0,0498

З1 е"3 3

Р (1 заказа за 5 минут) = Р (1) = —тт— - у х Р (0) = 3 х 0,0498 = 0,1494; Р (2 заказа за 5 минут) = Р (2) = ³-^— = | х Р (1) - | х 0,1494 = 0,2240; Р (3 заказа за 5 минут) = Р (3) = ^~ = | х Р (2) = | х 0,2240 = 0,2240; Р (4 заказа за 5 минут) = Р (4) = ^-£— •= | х Р (3) = | ^х 0,2240 - 0,1680;

41 4 4

Р (более 4 заказов за 5 минут) = {Р(5) + Р(6) + Р(7) + Р(8) +...} =

= 1 - {Р(0) + Р(1) + Р(2) + Р(3) + Р(4)}

= 1 - {0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240 + 0,1680}

= 1 - 0,8152 = 0,1848.

При распределении вероятностей Пуассона, зная среднее число "успехов" на 5-минутном промежутке (например т, как в примере 2.7), для того чтобы узнать г среднее число "успехов" за один час, нужно просто умножить m на 12. В примере 2.7 среднее число заказов в час составит: 3 х 12 = 36. Аналогично, если требуется определить среднее-число заказов в минуту: m = 3/5 = 0,6.

О Пример 2.8. В среднем за пять дней рабочей недели на автоматической линии происходят 3,4 неполадок. Какова вероятность двух неполадок в каждый день работы?

Решение.

Можно применить распределение Пуассона:

1. Существует неограниченное количество опытов, т.е. малых промежутков времени, в течение каждого из них может произойти или не произойти неполадка на автоматической линии. Вероятность этого для каждого промежутка времени мала и постоянна.

2. Предполагается, что неполадки беспорядочно расположены во времени.

3. Предполагается, что среднее число неполадок в течение любых пяти дней постоянно.

Среднее число неполадок равно 3, 4 за пять дней. Отсюда число неполадок в день:

3,4

. --0,68 = т

Следовательно,

0 68^г е^-0,68
Р(г неполадок в день) = —-----:-----, г = 0, 1, 2, 3,...

Гл. 2. Вероятностные распределения 53

Поэтому

О 68² е"^0,68
Р(2 неполадки в день) = — —г:---------- = 0,1171.

□ Пример 2.9. В компании, сдающей на прокат две машины, каждодневный спрос на автомобили подчиняется распределению Пуассона и в среднем составляет 1,3 машины в день. Предположим, машины используются в равной степени. Какова вероятность, что в любой из дней:

1) ни на одну машину не будет заказов;

2) одна из машин совершенно точно будет арендована, а другая — то ли будет, то ли нет;

3) на обе поступят заказы.
Решение.

Число заказов на машину в день — это дискретная величина. Вероятность г заказов такова:

Р(г)='^Л_г*, г = 0,1,2.3,...

1. Р(нет заказов на машины) = Р(спрос за день равен 0):

1 3° е^-1,3 Р(г = 0) = ^-^ — = 0,2725.

2. Р(ни один автомобиль не заказан) - Р(спрос на одну из машин 0 или 1, а
на другую — 1)

Р(г = 0) + Р(г = 1) х Р(другая машина арендована) =

= 0,2725 + -^ х ^ = 0,4497.

Примечание: Р(другая машина арендована)=1/2, так как машины используются в равной степени.

3. Р(обе машины арендованы) = Р(спрос в день £ 2) =

= 1- Р(г<; 2)*

= 1- {Р(г = 0)+Р(г=1)}=г

= 1 - 0,6268= 0,3732.