Процедура испытания гипотез

Для оценки доказательств выборки мы должны формулировать наши гипотезы так, чтобы можно было использовать известное вероятностное распределение. Такая исходная гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается Н₀. Нулевая гипотеза всегда формулируется для утверждения того, что выборочная статистика согласуется с принятым параметром генеральной совокупности. Сформулировав нулевую гипотезу, мы исследуем выборку для того, чтобы увидеть, согласуется ли она с этой гипотезой. Заметим, что для обеспечения как можно большей объектив­ности важно, чтобы гипотеза формулировалась до того, как собираются данные. Весь спектр возможных результатов, обычно подразделяется на три категории:

1) доказательство согласуется с нулевой гипотезой;

2) доказательство не согласуется с нулевой гипотезой;

3) доказательство является неубедительным, поэтому требуется больше данных для принятия решения.

Если результат соответствует категории 1, то решением будет принятие нулевой гипотезы как наиболее верной. Предполагается, что различие между величиной выборочной статистики и параметром генеральной совокупности объясняется слу­чайной вариацией, свойственной выборочному исследованию.

Если результат соответствует категории 2, то решением будет отклонение нулевой гипотезы, как, вероятно, неверной. Предполагается, что различие между выборочной статистикой и параметром генеральной совокупности не объясняется случайной выборочной вариацией. В этом случае принято применять альтернативную гипотезу. Испытание гипотез не включает доказательство согласования выборки с альтеративной гипотезой. При применении альтернативной гипотезы, мы можем предположить, поскольку нулевая гипотеза оказалась неприемлемой, что взамен нулевой гипотезы следует использовать альтернативную гипотезу. Мы не приводим какое-либо статистическое доказательство правильности нашего предположения.

Альтернативная гипотеза обычно обозначается Hj, как и Hq, она должна быть сформулирована в самом начале исследования.

Например, машина изготавливает металлические диски. Она установлена так, что средний диаметр дисков равен 2,0 см. Выборка из партии дисков показала средний диаметр, равный 2,3 см.

Вопрос состоит в том, правильно ли все еще настроена машина?

Нулевая гипотеза предполагает, что машина настроена все еще правильно и выборочная средняя согласуется с выборкой, взятой из нормальной генеральной совокупности со средним значением, равным 2,0 см. Если при испытании гипотезы мы обнаруживаем, что данные выборки не согласуются с нулевой гипотезой, то тогда мы должны решить, какое примем альтернативное заклю­чение. Альтернативной гипотезой может быть просто предположение, что среднее значение генеральной совокупности не равняется 2,0 см, а также альтернативной гипотезой может быть предположение, что генеральная средняя больше, чем 2,0 см. Альтеранативная гипотеза определяет точные условия испытания нулевой гипотезы. Отмеченные две формулировки Н(можно записать следую­щим образом:

Гл. 6. Статистический вывод 2: испытание гипотез ________ 153

Случай 1:

Н₀: ц = 2,0 см,

Н,: ц * 2,0 см. Случай 2:

Н₀: ц = 2,0 см,

Н,: ц> 2,0 см.

Бели результат относится к категории 3, то никакое решение не может быть принято до тех пор, пока не будет получено больше данных,и испытание гипотезы будет проведено вновь. Однако следует отметить, что разграничение этих трех категорий проводится на субъективной основе лицом, принимающим решение. Какой бы результат ни был получен, мы никогда не можем определенно (на 100%) доказать или опровергнуть нулевую гипотезу. Все, что мы можем сделать,— это или признать то, что нулевая гипотеза почти наверняка верна, или, что правиль­ность нулевой гипотезы маловероятна.

Следующий пример поможет прояснить, почему это так.

□ Пример 6.1. Рассмотрим еще раз эксперимент с бросанием кости 102 раза. Выпало 20 "шестерок". Очевидно ли то, что на выпадении "шестерок" сказалось влияние какого-то неслучайного фактора?

Решение

Если кость без смещения, то число выпадения "шестерок" при 102 бросаниях подчиняется биномиальному распределению.

Нулевая гипотеза предполагает, что число "шестерок" биномиально распределено с р=1/6, то есть на выпадение "шестерок" не оказывается какого-либо воздействия.

Альтернативная гипотеза предполагает, что на кость было оказано влияние для более частого выпадения "шестерок" — число "шестерок" не подчиняется биноми­альному распределению с р=1/6.

Вероятность достижения г "шестерок" из 102 бросаний, если на кость не оказано влияние, находится следующим образом:

Р (г) = ^,02С_Г х (1/6)^г х (5/б)^,02"^г, г = 0, 1, 2, 3......... 102.

Поэтому вероятность наблюдаемого числа "шестерок" равна:

Р (г = 20) = ¹⁰²С2₀ х (1/6)²⁰ х (5/6)⁸² = 0,073,

т. е. это событие маловероятно.

Вероятность ожидаемого числа "шестерок" равна:

Р (г = 17) = ^,02С,₇ х (1/6)¹⁷ х (S/6)⁸⁵ = 0,105,

что также маловеооятно.

154 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений