Испытание гипотез о двух генеральных дисперсиях

Существует много ситуаций, в которых вариация данных важна не менее, чем средняя величина. Когда мы оцениваем портфель инвестиций, то исходим из ожидаемой прибыли, но, в то же время нельзя сбрасывать со счетов риск инвести­рования. Такой риск может быть оценен на основе дисперсии возможной прибыли инвестиций (см. раздел 3.3). Предположим, что у нас имеются две независимые выборки и мы хотим знать, взяты ли они из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией. Например, предположим, что компания производит определенный элемент на двух автономных производственных линиях — А и В. Характеристики обеих линий одинаковые. Как определить, одинакова ли вариация продукции на этих линиях? Ответ на этот вопрос можно получить сравнив дисперсии случайных выборок, взятых из продукции первой и второй линий, используя соответствующую процедуру испытания гипотез. Так же можно сравнить риск двух различных инвестиционных портфелей. Сравнение дисперсий фактической прибыли, полученной в прошлые годы, даст возможность принять решение.

Отношение дисперсий или F-критерий

В разделе 4.4. было показано, что отношение двух дисперсий подчиняется распре­делению F-статистики:

168 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

F = —

Поскольку лучшая оценка дисперсии генеральной совокупности вычисляется по формуле:

12 _ ^п. 2
<Г» - S,

П - 1

ТО

п, s? (п₂ - 1) *(п,-1) п₂4 '

Нулевая гипотеза предполагает, что две выборки независимы и взяты из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, cq = а^. В этом случае F равно 1. Из теории испытания гипотез мы знаем, что если даже нулевая гипотеза верна, то маловероятно, что <з\ имеет точно такое же значение, что и о~2 из-за колебаний отбора. Следовательно, маловероятно, что F-статистика будет равна 1. Решением, которое мы собираемся принять, используя испытание гипотез, является то, будет ли истинная величина F достаточно близка к 1 для того, чтобы подтвердить вероятность, что выборочные совокупности были взяты из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой дисперсией. В этом

случае различие в значениях щ и oj может быть отнесено к случайностям.

Как отмечалось в разделе 4.4.4, F-распределение зависит от числа степеней свободы в обеих сравниваемых выборках. Когда мы производим оценку единст­венного генерального параметра по выборке, то теряем одну степень свободы. Таким образом, для каждой выборки остаются (а 1) степени свободы.

Для того, чтобы привести стандартную таблицу для F-распределения к более удобному виду, даны только значения F £ 1, то есть это — таблицы с одной границей. Чтобы использовать эти таблицы при расчете F, делим большую дисперсию на меньшую. Проверочной статистикой является:

F т (большая оцененная дисперсия) / (меньшая оцененная дисперсия).

□ Пример 6.8. Биржевой маклер исследует две инвестиции — А н В — от имени клиента. Инвестиция А предполагается на срок 10 лет с ожидаемой ежегодной прибылью в течение этого периода 17,8%. Инвестиция В рассчитана на срок 8 лет также с ожидаемой готовой прибылью 17,8%. Дисперсии ежегодных прибылей от двух инвестиций составляют 3,21%² и 7,14%³. Есть ли какое-либо основание считать, что риски инвестиций А и В неравны? Предполагается, что распределения ежегодных прибылей на инвестиции подчиняются нормальному распределению.

Гл. 6. Статистический вывод 2: испытание гипотез ____________ 169