Ведущий столбец у

Гл. 12. Линейное программирование

Таблица 12.6. Третья, стоговая, симплекс-таблица

Базисные переменные

х

s₂

У

Целевая функция Р

О

Переменные
У S, S2

О 1/3

0 2/3

1 -1/3

1/3

S3

О -2

Правая

часть

Ь

И

Новая R| = Прошлая Rj.

- О х Новая КЗ

Новая R2 ■* Прошлая R₂ -

- 2 х Новая R.3

Новая R3 = Прошлая R₃ + + ведущий элемент (1)

Новая Р = Прошлая Р • -(-1) х Новая R₃

Теперь все элементы в строке целевой функции либо положительны, либо равны нулю, следовательно, представленное в данной таблице решение является оптимальным.

Чтобы дать интерпретацию итоговой симплекс-таблице, обратим сначала вни­мание на значения ее крайних элементов.

Таблица 12.7. Интерпретация итоговой симплекс-таблицы

Базисные переменные	X	Переменные У S,	S2	S3	Правая часть Ь
X S2 У					9 = значение х 8 = значение ресурса RM2=S2 11= значение у
Целевая функция Р		0 1/3			29 = максимальное значение прибыли

Стоимость введения в решение одной небазисной переменной

4-

Теневые цены

Базисными называются переменные, которые имеют ненулевые значения в крайней точке допустимого множества. Значения базисных переменных находятся в соответствующих строках столбца Ь. Следовательно,

х = 9 единиц в неделю; у = 11 единиц в неделю, а значение остаточной переменной для сырья 2 составило 8 кг в неделю.

Все остальные переменные имеют нулевые значения, т.е. остаточные переменные ограничений 1 и 3, s_t и s₃ соответственно равны нулю. Это означает, что данные ограничения являются лимитирующими, а сырье типов 1 и 3 расходуется полностью. Оптимальное значение целевой функции указано в строке целевой функции столбца Ь. Максимальное значение получаемой за неделю прибыли составляет 29 ф- cj-Полученное решение полностью совпадает с графическим решением задачи, наи-

Ч. 4. Моделирование в бизнесе

денным ранее. Элементы, стоящие на пересечении строки целевой функции и столбцов остаточных переменных, соответствуют, как показано в табл. 12.7, теневым ценам ресурсов. Теневая цена для ограничения 1, т.е. цена ресурса RM1, составляет 1 /3 ф. ст. за 1 кг, а теневая цена для ограничения 3 - 1 ф. ст. за 1 кг. Это означает, что если реализуется 1 кг ресурса RM1 сверх нормативного запаса, прибыль за неделю возрастает на 33 пенса (минус любые издержки сверх обычной стоимости RM1). Аналогичным образом, если используется сверхнормативное количество ресурса RM3 в 1 кг, рост прибыли за неделю составит 1 ф. ст. (минус любые дополнительные издержки). Найденные значения теневых цен можно проверить, вычислив их с помощью графического метода. Чтобы проиллюстриро­вать эту процедуру, обратимся к ограничению 1.

Ограничение 1, соответствующее сырью 1,' имеет вид: 3 х = 27 кг в неделю. Снизив жесткость этого ограничения на 1 кг, получим: 3 х = 28. Оптимальная крайняя точка по-прежнему будет находиться на пересечении линий ограничений 1 и 3. Чтобы убедиться в справедливости этого положения, достаточно взглянуть на соответствующий график. Новая точка оптимума имеет следующие координаты:

х = 28/3 = 9 ^,

а соотношение

28/3 + у = 20 приводит к тому, что

у = 32/3 = 10 |.

Новое максимальное значение прибыли за неделю составит: 2 х (28/3) + (32/3) = 88/3 = 29,33 ф. ст. в неделю.

Увеличение прибыли на 33 пенса произошло в результате использования 1 кг ресурса RM1 дополнительно. Следовательно, теневая цена ресурса RM1 равна 33 пенсам за 1 кг.

Оставшиеся крайние значения итоговой таблицы — это элементы, лежащие на пересечении строки "целевая функция" и столбцов переменных задачи. В нашем примере значения, соответствующие столбцам х и у, равны нулю. Эти элементы были бы ненулевыми, если бы соответствующие переменные в оптимальном решении не являлись базисными. Например, если бы в оптимальном решении утверждалось, что следует производить только продукт X, переменная у была бы небазисной, т.е. выполнялось бы соотношение у = 0, то в этом случае значение, указанное на пересечении строки "целевая функция" и столбца Ь, показало бы, на сколько уменьшится максимальное значение целевой функции при выпуске единицы продукта у.

Предположим, что в результате решения данной задачи мы получили итоговую таблицу следующего вида:

Гл. 12. Линейное программирование

Таблица 12.8. Модификация итоговой таблицы

Базисные переменные	X	Переменные у s, s2	s3	Правая | часть Ь
X S2 S,				9 8 11
Целевая функция Р		0,5 1/3 0		18 = максимальное значение прибыли

Оптимальный ассортиментный набор для этого решения — это выпуск только продукта X в количестве 9 единиц. Если по тем или иным причинам некоторое количество продукта У все же необходимо произвести, значение целевой функции уменьшится на 0,5 ф. ст., приходящихся на каждую производимую единицу продукта У.