На экзаменационные вопросы

ПО ТЕМЕ "КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ"

(декабрь 1990, АССА)

1. Две причины, почему нормальное распределение является важным элементом статистического анализа:

(О Нормальное распределение очень часто присутствует в естественных и производственных процессах. Например, вес чая, который сортируется по пачкам с помощью загрузочного станка, должен иметь нормальное распределение. Большинство статистических тестов было разработано в предположении, что исходные данные подчиняются нормальному закону распределения.

(ii) Если несколько выборок определенного размера случайным образом сделаны из нормальной генеральной совокупности, выборочное распреде­ление выборочных средних также будет нормальным, причем его среднее зна­чение будет совпадать со средним значением генеральной совокупности. Более того, если генеральная совокупность не подчиняется нормальному закону распределения, то выборочное распределение выборочных средних приближается к нормальному (см. центральную предельную теорему). Это позволяет использовать выборочное среднее для оценки генерального среднего. а) Показатель нагрузки на рессоры SX-1 имеет нормальное распределение

со средним значением 2,5 кг и стандартным отклонением 0,2 кг. Требуемое

допустимое отклонение для нового вида рессор составляет от 2,7 кг до 3,1 кг.

а - 0,2 а

♦ Нагрузка, кг. 2,5 2,7 3,1

Ответы авторов моделей на экзаменационные вопросы "*

Для рессор SX-1 2,7 кг составляет г стандартных отклонений от среднего значения, равного 2,5 кг, где

а A3

Из таблиц для стандартного нормального распределения находим, что Р (z> 1,0) = 0,15866.

Аналогично 3,1 кг равны 3,0 стандартным отклонениям от среднего. Из таблицы для стандартного нормального распределения Р (z > 3,0) = 0,00135. Следовательно, (0,15866 - 0,00135) = 0,15731, или 15,731% рессор SX-1 удовле­творяет требуемому интервалу.

б) Число рессор SX-1, которое необходимо проверить, чтобы получить 800
рессор с требуемыми параметрами.

Пусть необходимо проверить X рессор. Тогда из п. а) следует, что число рессор, параметры которых удовлетворяют спецификации, будет равно:

X х 0,15731 = 800,

т.е. X = 5085,5 рессор.

Следовательно, для «получения 800 рессор, удовлетворяющих допустимому отклонению, необходимо провести проверку и замеры 5086 рессор. Ожидаемая стоимость такой проверки составит: 0,20 х 5086 = 1017,20 ф. ст.

в) Общая стоимость получения 800 рессор, удовлетворяющих допустимому
отклонению:

(О из рессор SX-1:

стоимость проверки — 1017,20 ф. ст.,

издержки производства — 3,50 х 800 = 2800 ф. ст.,

общая стоимость — 3817,20 ф. ст. за 800 рессор.

(ii) издержки производства особой партии рессор: 5,20 х 800 = 4160 ф. ст. Получить рессоры особого типа из существующего запаса рессор SX-1 по сравнению с их производством как особой партии дешевле на 342,80 ф. ст.

г) Процентное изменение первоначальных издержек производства особой
партии рессор, необходимое для изменения решения, принятого в п. в):

Единичные издержки должны снизиться до 3817,20/800 = 4,77 ф. ст. за одну рессору. По сравнению с 5,20 ф. ст. это означает снижение на 0,43 ф. ст., или на 8,27 %.

д) Издержки производства рессор SY-2 равны 4,25 ф. ст. за единицу, тогда
как рессор SX-1 — 5,20 ф. ст. за единицу. Тем не менее средняя нагрузка
рессор SY-2 составляет 2,7 кг для неизвестного стандартного отклонения.
Для какого интервала значений стандартного отклонения было бы дешев­
ле выбирать рессоры, требуемые в заказе, из рессор типа SY-2 или SX-1?

Общая стоимость получения требуемых рессор из рессор типа SY-2 должна быть меньше, чем 3817,20 ф. ст. Стоимость рессор SY-2 - это общая стоимость = = издержки производства + стоимость проверки = 4,25 ф. ст. х 800 + 0,20 ф. ст. х 800 / / (доля рессор SY-2, удовлетворяющих спецификации) = 3400 +160/(доля рессор SY-2, удовлетворяющих спецификации).

552 Ответы авторов моделей на экзаменационные вопросы

Следовательно, 3400 + 160/(доля SY-2, удовлетворяющих спецификации) < 3817,20, т.е. (доля SY-2, удовлетворяющих спецификации) > 160/417,20 = 0,3835. Таким образом, менее чем (0,5 - 0,3835) = 0,1165 элементов распределения должны превышать значение 3,1 кг, являющееся верхним пределом допустимого отклонения в соответствии со спецификацией.

> Нагрузка, кг
2,7 3,1

Так как 3,1 кг составляют z' стандартных отклонений от среднего, имеем:

P(z>z')= 0,1165.

Из таблиц для стандартного нормального распределения находим, что г'= 1,19 (округление до двух десятичных знаков).

Так как г-= &^, _то 1,19 = ^1^7.
а а

Следовательно,

а = 0,4/1,19 = 0,336 кг.

Если стандартное отклонение для рессор типа SY-2 будет меньше, чем 0,336 кг, то выбирать рессоры, требуемые в заказе, из данного типа рессор будет дешевле. 2. а) Ниже приводится дерево решений.

б) В предположении, что все доходы рассчитываются на конец года, определить приведенный доход для каждой возможной комбинации действий и результа­тов, используя коэффициент дисконтирования, равный 15% годовых. В соответствии с деревом решений необходимо сделать шесть вариантов расчетов для конечных узлов F-K.

				Ежегодный доход,	Общий приве-
Узел	Исследова­ние рынка	Прогноз	Спрос	тыс. ф. ст.	денный доход за пять лет
				1	2	3	4		при 15% годовых
F	да	хороший	высокий						136,16
G	да	хороший	низкий						58,15
Н	да	плохой	прежний						50,58
I	нет	-	высокий						102,64
J	нет	-	низкий						41,39
К	нет	-	прежний						50,58

Ответы авторов моделей на экзаменационные вопросы _______ 553

Необходимо найти ожидаемый приведенный доход для узла А дерева решений:

Е (А) = 0,6 х (0,9 х 136,16 + 0,1 х 58,15) + 0,4 х 50,58 =97,25 тыс.ф. ст.

Стоимость проведения исследования рынка равна 10000 ф. ст., поэтому ожи­даемая чистая приведенная стоимость исследования рынка составит 97,25 - 10 = 87,25 тыс.ф. ст.

г) Рекомендуемый план действий с использованием критерия максимизации
ожидаемого приведенного дохода состоит в том, чтобы предпринять ис­
следование рынка. Это позволит получить ожидаемый приведенный
доход, равный 87250 ф. ст. Если исследование рынка даст хорошие
прогнозные результаты, следует внедрить выпуск нового оборудования.
Если же оно даст плохие прогнозы, следует продолжить выпуск старой
продукции.

д) Предположим, что вероятность того, что исследование рынка приведет к
хорошим прогнозам, изменится с 0,6 до 0,5. Это приведет к изменению
ожидаемого приведенного дохода:

Е (А) = 0,5 х (0,9 х 136,16 + 0,1 х 58,15) + 0,5 х 50,58 - 10=79,47 тыс.ф. ст.

Данное значение ниже, чем ожидаемый приведенный доход для узла D,

равный 84,26 тыс. ф. ст.

Такое изменение значения вероятности изменило бы и наши рекомендации.

Мы бы уже не рекомендовали проведение исследования рынка, однако по-прежнему

придерживались бы программы выпуска нового осветительного оборудования.

Этот факт говорит о чувствительности решения к небольшим изменениям значения

вероятности прогноза.

3. а) Модель линейного программирования для производства компанией "Crown Chemical" химикатов ростик, сеноупур и телтрейт. Рассчитаем доход от произ­водства каждого вида продукта:

Единичный доход = Цена продажи 1 кг - Единичные переменные издержки.

В данном примере нам даны только затраты на сырье. Поскольку никакие иные переменные издержки не указаны, мы предположим, что они одинаковы для всех трех видов продукции и, следовательно, не влияют на любые решения, принятые на основе критерия максимизации дохода.

Доход от производства 1 кг:

Ростик 35 - (0,4 х 15 + 0,3 х 16 + 0,3 х 20) = 18,20 ф.ст за 1кг. Сеноупур: 32 - (0,4 х 15 + 0,2 х 25 + 0,3 х 16 + 0,1 х 20) = 14,20 ф.ст за 1кг. Телтрейт: 45 - (0,4 х 25 + 0,2 х 16 + 0,4 х 20) = 23,80 ф. ст. за 1 кг.

По условию задачи даны только две группы ограничений - на наличие сырья и максимальный спрос на телтрейт.

Переменные модели:

Пусть R кг в день - объем производства и продажи химиката ростик, S кг в день - объем производства и продажи химиката сеноупур, Т кг в день - объем производства и продажи химиката телтрейт.

554_______ Ответы авторов моделей на экзаменационные вопри^ы

Общий доход через пить пет:

приведенное эночение при 15% годоеых (тыс. ф. ст.)

CfJ 138,16

(97.25 Хороший -10 прогноз

SB.15 SO,»

102,64 4ipa

Проведение исследования,' рынка ,-''

И'"

Отсутствие ^vv