Ставка по закладным

в) Рассчитаем доверительный интервал для числа заявок на ссуды в неделю

при 95%-ном уровне значимости, если ставка процента по закладным

равна 14%.

Мы можем построить доверительный интервал для генерального среднего у

при заданных х и ц_у/_х- И наоборот, можно построить доверительный интервал

для отдельного значения у. На основе известных нам формул предположим, что

требуется найти последний из указанных интервалов. Доверительный интервал

для отдельного значения числа заявок на ссудьс при 95%-ном уровне значимости

составит:

У ± ¹0,025, (п - 2) • ^SEy-

В списке формул (раздел Е, (iv)) приведена формула расчета стандартной ошибки для отдельного значения у (в отличие от среднего значения) при заданном значении х.

SE (отдельного значения у)

W

=о V1+—+—

п £ (х - W

Здесь

14%

п = 15

а = 2,517 (рассчитано в п. а))

Ответы авторов моделей на экзаменационные вопросы 561

х = 12,5667 (дано по условию)

(х₀ _ х У = (14 - 12.5667)² = 1,4333² = 2,0543

SD (х) = 1,4744 (дано), следовательно,

1(х-х)2

, следовательно,

Дисперсия (х) = 1.4744² = 2,1739 =

(п-1) ² = Дисперсия (х) ■ (п-1) = 2,1739 • 14 = 30,434.

2> - 5)'

Следовательно,

SE (отдельного значения у) = 2,5174 1 + — + ' ^ = 2,517 х 1,065 = 2,68.

Прогнозное значение числа заявок на ссуды при ставке по закладным в 14% составит:

у = 153,4 - 6,81 • 14 = 58,06 заявок в неделю. Доверительный интервал для отдельного значения числа заявок на ссуды при 95%-ном уровне значимости равен:

58,06 ± t<j 025 14 • SE (отдельного значения у),
т.е. 58,06 ± 2,145 • 2,68 = 58,06 ± 5,75,

т.е. от 52,3 до 63,8 заявок в неделю.

Данный результат можно сравнить с числом заявок на ссуды, поданными в течение 6-й недели и равными 58, при ставке по закладным в 14%. 6. а) Найдем среднее значение и стандартное отклонение продолжительности выполнения каждой задачи. Используя указанные формулы

(4т + а + b) (b - а)

получим:

Задача	Предшествующая задача		Продолжительность
		т	а	Ь	Ц	а
А	-					2/6
В	-					10/6
С	А					8/6
D	В					4/6
Е	D,A
F	В					2/6
G	C.E.F				И	10/6
Н	G					2/6
I	G
J	Н					2/6
К	I.J					10/6

б) Построим сетевой граф и определим критический путь (см. с. 563)

Сетевой граф приведен ниже. Наиболее ранние и наиболее поздние сроки наступления событий указаны около соответствующих узлов. Задача является

критической, если LET0

^- ЕЕТ_начала - продолжительность = 0.

Ответы авторов моделей на экзаменационные вопросы

I I - наиболее ранний срок наступления события,

/\ - наиболее поздний срок наступления события средняя продолжительность, дней.

Как следует из графа, критический путь, построенный с помощью средних сроков выполнения задач, выглядит следующим образом: B,D,E,G,H,J,K.

в) Определим среднюю продолжительность и стандартное отклонение для критического пути. Из сетевого графа следует, что средняя продолжительность критического пути составляет 44 дня. Чтобы найти стандартное отклонение, определим сначала величину дисперсии.

Дисперсия продолжительности критического пути

Zs дисперсии всех задач, \

\ принадлежащих критическому пути/

Следовательно, воспользовавшись известной продолжительностью критичес­кого пути, получим:

„2 _ „2. „2, 2. „2. _2. „2, „2.

а_т = а_в + o_D + а_Е + а_с + of, + а, + а_к, а²- = (100 + 16 + 0 + 100 + 4 + 4 + 100)/36 = 324/36 = 9.

Таким образом, стандартное отклонение для продолжительности критического пути =*foj = VT = 3 дня.

г) Какова вероятность того, что продолжительность критического пути превысит 50 дней? Предположим, что общая продолжительность выполнения проекта Т имеет нормальное распределение со средним значением 44 дня и стандартным отклонением 3 дня (см. п. в)). Этот факт, в свою очередь, предполагает, что продолжительность каждой задачи, принадлежащей критическому пути, имеет р-распределение, причем продолжительности выполнения каждой из задач независимы друг от друга.

Ответы авторов моделей на экзаменационные вопросы ________ 563

<т = 3 дня

44 50

-► Т, дней

50 дней составляют z стандартных отклонений от среднего значения, равного

44 дням, где:

50-44 __п z = —3— = 2,0.

По таблице стандартного нормального распределения находим, что Р (z > 2,0) = 0,02275. Следовательно, вероятность того, что продолжительность критического пути превысит 50 дней, равна 0,02275.

7. а) Рассчитаем доверительный интервал для выработки за 1 чел.-ч. в целом при 95%-ном уровне значимости в условиях новой структуры заработной платы.

Предпосылки:

1. Для каждого завода можно вычислить соответствующий показатель нормы выработки, т.е. в течение рассматриваемого временного промежутка каждый завод выпускает только один продукт или по крайней мере имеет постоянный ассортимент продукции.

2. Показатели нормы выработки для различных заводов сопоставимы, т.е. все заводы производят сходные виды продукции.

3. Показатели нормы выработки по всем заводам подчиняются нормальному закону распределения и имеют одинаковые среднее значение и стандартное отклонение.

Для новой структуры заработной платы имеем:

n = 8, х = 50, s = 10,344.

Доверительный интервал для нормы выработки как генерального среднего при 95%-ном уровне значимости равен:

х ± t_{002s 7} s/V (п - 1) = 50 ± 2,365 х 10,344/Vf = 50 ± 9,246.

Мы можем быть на 95% уверены, что норма выработки как генеральное среднее лежит в пределах между 40,754 и 59,246.

6) (О Почему попарный t-критерий являлся бы неподходящим инструмен­том при проверке предположения о том, что изменение в структуре заработной платы не привело к изменениям в норме выработки в целом? Две выборки не являются попарно сопоставимыми. Они получены на основе различных заводов до и после изменения структуры заработной платы. Если бы проводилась выборка 8 заводов, по которым показатели выработки фиксирова-

564 Ответы авторов моделей на экзаменационные вопросы

лись бы до и после изменения структуры заработной платы, попарный t-критер можно было бы использовать.

(И) Будем использовать t-критерий для средних значений двух выборок.

Примечание. Данной процедуре должен предшествовать F-критерий для га ральных дисперсий. Предположим, что обе выборки были получены из генеральш совокупностей, имеющих равные дисперсии. Если сравнить приведенные ни> стандартные отклонения двух выборок, сделанное нами предположение мож] считать вполне допустимым (и фактически F-критерий это подтверждает). Над также предполагается, что лежащие в основе выборок генеральные совокупное распределены нормально.

Hq: р₀ = p_N, различие в нормах выработки при старой и новой структур; заработной платы отсутствует.

Hj: ц₀ * ц_к, различие в нормах выработки существует.

Формулировка гипотезы Hj предполагает использование двухвершинно1 критерия. (Если бы утверждалось, что новая структура была введена в целя увеличения выработки, то в этом случае гипотеза Н(формулировалась бы след} ющим образом: Hj: р„ < p_N, и можно было бы применять одновершинный критерш Из постановки проблемы не ясно, действительно ли преследовалась именно эт цель, однако обе выборки идут в размер с данной идеей, поскольку средняя норм выборки снизилась с 55 до 50)

Проведем проверку гипотезы Нд, используя двухсторонний t-критерий, н 5%-ном уровне значимости (щ + nj - 2) = (8 + 8 -2) = 14 степеней свободы.

По таблицам стандартного t-распределения находим, что Ч025,14 = 2,145.

Необходимо знать выборочные средние и стандартные отклонения.

Для старой структуры заработной платы: п₀ = 8, х₀ = 55 и s₀ = 11,916.

Для новой структуры заработной платы: n_N = 8, x_N = 50 и s_N = 11,916.

Значение t-критерия равно:

. _ ^хо ~ ^xn

Следовательно,

SE

55-50

■J (n₀ s_p^Ji + n_N s_w*) i T~ J (8. U,916^;! + 8.10,344^:') 1 1
(n_{0 +} n_b-2) 4 ⁺ V (8 + 8-2) 4 ⁺ 8'

0,838.

U-A

Так как 0,838 < t<)Q25 14= 2,145 результат не является значимым на 5%-ном уровне. Выборка подтверждает гипотезу Н₀, поэтому Н„ принимается. Мы не находим доказательства в поддержку того, что изменения в выработке действи­тельно имели место.

(ш) Почему для таких данных желательно использовать тест, не предпола­гающий какого-либо конкретного распределения элементов coRoKvnHrv-гм'?

Ответы авторов моделей на экзаменационные вопросы 565

Одна из четырех введенных нами предпосылок заключалось в том, что генеральные совокупности, лежащие в основе выборок, распределены нормально. В соответствии с формулировкой вопроса применение любого критерия, не предполагающего кон­кретного распределения элементов совокупности, не требует принятия данной предпосылки.

Каждая из выборок содержит одно значение, которое является нетипичным. Так в выборке показателей норм выработки при старой структуре заработной платы имеется значение 81, которое почти на 20% превышает все остальные. В выборке показателей норм выработки при новой структуре заработной платы есть значение 26, которое почти на 20% ниже остальных. На основе этого факта можно предположить, что исходные генераль­ные совокупности не подчиняются нормальному закону распределения. Указанные значения оказывают большое влияние на выборочные средние, а через стандартные отклонения отрицательно воздействуют и на чувствительность t-критерия.