Оценка и упорядочивание альтернатив при аддитивности критериев

Рассматривается метод ранжирования альтернатив на основе аддитивной свертки [2], обобщенной на случай нечеткой исходной информации. Используется треугольное представление нечетких оценок альтернатив и коэффициентов важности критериев.

Краткие сведения о методе. Пусть необходимо упорядочить m альтернатив a₁, a₂,…,a_m, оцениваемых по n критериям. Соответствующую оценку обозначим R_ij, i = . Относительная важность каждого критерия задается коэффициентом W_j, j = . В этом случае взвешенная оценка i -й альтернативы вычисляется по формуле:

R_i = (4.8)

или, если оценки нормированы,

R_i = . (4.9)

Рассмотрим расчет R_i_, когда оценки альтернатив по критериям и коэффициенты относительной важности задаются функциями принадлежности соответственно (r_ij) и (ω _j), где r_ij, ω _j R.

Так как в данном случае и являются нечеткими числами, R_i определяется в соответствии с формулой (4.8) и (4.9) на основе принципа обобщения [3]. Бинарную операцию * (в данном случае это операция сложения и умножения) можно обобщить на случай нечетких чисел (например, X и Y), задаваемых функциями принадлежности (μ_x(x) и μ_y(y) соответственно).

Результат обобщенной операции - нечеткое число Z, определяемое функцией принадлежности

μ_z(z) = sup min (μ_x(x), μ_y(y)). (4.10)

z=x*y

Другой способ вычисления R_i_, может быть использован в случае, когда и заданы функциями принадлежности треугольника вида (рис.4.1).

Рис. 4.1. Границы и вершина нечеткого числа

Определив левую X ’ и правую X” границы нечеткого числа X, а такжеего вершину X^*:

X’’) =0; μ (X^*) = 1,

можно доказать, что нечеткое число Z=X*Y также определяется функцией принадлежности треугольного вида

Z’=X’*Y’, Z’’=X’’*Y’’, Z^*=X^**Y^*. (4.11)

После того как взвешенные оценки R _i получены, необходимо сравнить альтернативы на их основе. Для этого вводится нечеткое множество I, заданное на множестве индексов альтернатив {1,2, …, m }, и значение соответствующей функции принадлежности интерпретируется как характеристика степени того, насколько альтернатива a_i является лучшей. Значение μ_I(i) вычисляется по формуле

μ_I(i) =sup min , (4.12)