2015-06-30
25839
Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, практический и др.
Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными способами.
Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение.
Решить задачу практическим методом – значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями).
Одну и ту же задачу можно решить различными методами.
Пример: «У Жени был волшебный цветок с 7 лепестками, выполняющий желания. После исполнения нескольких желаний у цветка осталось 3 лепестка. Сколько Жениных желаний исполнилось?»
Решим задачу практическим методом: выложим цветок с 7 лепестками, а затем уберем несколько лепестков так, чтобы осталось 3 лепестка. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, можно пересчитать оставшиеся лепестки, не выполняя никаких арифметических действий.
|
|
|
Арифметический метод: 7 – 3 = 4 (л.) выполнили желания.
Алгебраический метод: пусть х лепестков выполнили желания, тогда количество всех рыб можно найти при помощи выражения х + 3 = 7.
Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов. В этом случае считают, что задача решена комбинированным методом.
Основной целью начального курса математики – научить решать задачи арифметическим методом, поэтому более подробно остановимся именно на нем.
Прежде чем решить задачу, необходимо найти путь решения и составить план решения задачи, т.е. произвести разбор задачи. Разбор задачи может быть аналитическим (от вопроса) и синтетическим (от данных). Рассмотрим пример разбора задачи на конкретном примере: «В цветочном магазине составили несколько букетов. 7 букетов купили утром, 3 букета – в обед. Сколько букетов составили, если к вечеру осталось 2 букета? (481, 1 класс)
Аналитический разбор:
- Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Нужно знать, сколько букетов купили и сколько букетов осталось.)
- Известно в задаче, сколько букетов осталось? (Да, осталось 2 букета.)
- Известно в задаче, сколько букетов купили? (Нет.)
- Можем ли мы узнать, сколько букетов купили? (Да, потому что известно, сколько букетов купили утром и сколько вечером.)
- Каким действием узнаем число купленных билетов? (Действием сложения.)
Запишем решение задачи:
1) 7 + 3 = 10 (б.) – купили;
2) 10 + 2 = 12 (б.)
Синтетический разбор:
- Что известно в задаче? (Утром букета и к вечеру осталось 2 букета.)
- Что известно про купленные букеты? (Купили 7 букетов утром и 3 букета в обед.)
|
|
|
- Можно ли узнать, сколько всего билетов купили, используя эти данные? (Да, надо к 7 прибавить 3.)
- Можно ли узнать число составленных букетов, зная число купленных букетов и число оставшихся букетов? (Да.)
- Каким действием? (Сложением.)
Записываем решение задачи.
Следует заметить, что при решении первых простых задач целесообразно использовать синтетический способ разбора задачи. Это обусловлено психологическими особенностями детей этого возраста.
Что касается записи решения задачи, то она может быть произведена также разными способами: по действиями без пояснения, по действиями с пояснением, по действиям с вопросами, выражением. Рассмотрим все указанные способы на конкретной задаче: «У продавца было 15 воздушных шаров. Вини Пух купил у него 4 шарика, а Пятачок – 3 шарика. Сколько шариков осталось у продавца?»
Запись решения по действиям без пояснения:
1) 4 + 3 = 7 (ш.)
2) 15 – 7 = 8 (ш.)
Ответ: у продавца осталось 8 шариков.
Запись решения по действиям с пояснением:
1) 4 + 3 = 7 (ш.) – купили;
2) 15 – 7 = 8 (ш.) – осталось у продавца.
Ответ: 8 шариков.
При такой записи решения задачи возможен и другой вариант: пояснение в последнем действии не записывается, при этом ответ записывается подробно.
Запись решения по действиям с вопросами:
1) Сколько шариков купили?
4 + 3 = 7 (ш
2) Сколько шариков осталось у продавца?
15 – 7 = 8 (ш.)
Ответ: 8 шариков.
Запись решения выражением:
15 – (4 + 3) = 8 (ш.)
Ответ: у продавца осталось 8 шариков.
Следует отметить, что при решении некоторых задач, например на нахождение чисел по их сумме и разности, достаточно сложно бывает написать пояснение к действию. В этом случае можно записывать два действия одновременно, тогда эта проблема будет снята. Рассмотрим задачу: «В первом классе 20 учеников, причем мальчиков на 8 больше, чем девочек. Сколько девочек и сколько мальчиков в классе?»
1) 20 – 8 = 12 (уч.) – было бы в классе, если бы девочек было сколько же, сколько и мальчиков;
2) 12: 2 = 6 (уч.) – составляют девочки.
Понятно, что составить и записать пояснение к первому действию достаточно сложно. Если мы соединим эти два действия в одно, то получим следующую запись:
1) (20 – 8): 2 = 6 (дев.) в классе.
Виды работы над задачами на уроках математики
Для того чтобы сформировать у детей умение решать простые задачи необходимо использовать на уроке разные виды работы. Наиболее распространенный вид работы с задачами на уроке – это решение задачи.
Решение задач на уроке может отличаться формой организации деятельности детей, характером и степенью руководства процессом решения, содержанием решаемых задач, способом оформления решения и т.п. Исходя из сказанного, даже решение задач на разных уроках, в разных классах в зависимости от цели урока может осуществляться по-разному. Назовем несколько вариантов организации и содержания решения задач на уроке.
1. Фронтальное (коллективное) решение задачи под руководством учителя.
Этот вид работы с задачей на уроке наиболее известен. Однако нужно заметить, что учебные возможности такого решения в практике, особенно в практике начинающих учителей, не всегда используются в полную меру главным образом из-за того, что содержание такого решения не скорректировано на конкретную цель. Поэтому учащиеся видят цель решения только в скорейшем получении ответа на вопрос задачи.
А ведь коллективное решение задачи под руководством учителя может преследовать разные цели, а потому и отличаться расстановкой акцентов на определенных шагах этого решения, ориентацией учащихся на получение соответствующих общих выводов, на запоминание определенных сведений о задачах, о процессе решения задач и т.п.
Так, например, коллективное решение может использоваться для знакомства детей с решением (со способом решения) задач определенного вида. В этом случае оно должно быть ориентировано на запоминание учащимися отличительных особенностей задач этого вида (содержания задач этого вида) и на понимание и запоминание основных шагов такого решения. Коллективное решение под руководством учителя полезно также использовать для того, чтобы дети запомнили этапы решения, ознакомились с каким-либо приемом, помогающим решению и др.
|
|
|
2. Фронтальное (коллективное) решение задачи под руководством учащихся.
Этот вид работы чаще всего может быть использован для овладения учащимися умением последовательно выполнять этапы решения задачи, для закрепления умения пользоваться определенными приемами и методами решения. Учитель в этом случае только побуждает детей к руководству решением. Работа также должна завершаться обобщенными выводами в соответствии с ее целями.
3. Самостоятельное решение задачи учащимися.
При такой организации решения задачи учащиеся могут самостоятельно выбирать средства, методы, способы и формы решения, а также применять указанные учителем или учебником средства, методы и способы решения.
Самостоятельное решение – один из наиболее распространенных видов работы с задачами на уроке. Однако и здесь возможна ориентация на разные цели: на формирование умения решать задачи определенного вида, решать задачи с помощью определенных средств, приемов и методов; проводить проверку и самопроверку, оценку и самооценку; использовать при решении задач свойства действий; вычислительные приемы и т.д. И если первая группа целей ставится на уроках довольно часто, то самопроверка и самооценка значительно реже.
4. Выполнение части решения.
Основные цели выполнения части решения – формирование у учащихся умения выполнять определенный этап решения, обучение общим приемам решения, формирование представлений учащихся об арифметических действиях.
Приведем примеры заданий, которые определяют этот вид работы на уроке:
|
|
|
· Сделай чертеж к этой задаче (само построение чертежа может проводиться под руководством учителя, под руководством учащихся или самостоятельно; при частичном руководстве учителя или учащихся.)
· Прочитайте задачу. Представьте то, о чем говорится в задаче, так, чтобы ее легче было решить. Расскажите, что вы представили.
· Пользуясь схемой разбора задачи от вопроса к данным, составьте план решения данной задачи.
· Запишите решение задачи выражением.
· Проверьте, правильно ли решена эта задача, определив смысл каждого действия (решив задачу другим способом, решив задачу графически, и т.п.)
5. Дополнительные виды работы над уже решенной задачей.
Практика показывает эффективность этих видов работы. Однако пользуются ими не часто, не хватает времени – ведь задачу нужно вначале решить. Но время можно найти, если для дополнительной работы предлагать готовое решение. На уроке организуется лишь осмысление такого решения, а затем проводится дополнительная работа.
Цели дополнительной работы над решенной задачей могут быть самые различные: формирование у учащихся смысла арифметических действий; обучение умениям находить другие способы решения, решать задачи разными методами, проводить анализ содержания задачи, ставить вопросы к условиям задач. Целью дополнительной работы могут быть также выявления особенностей способа решения задач определенного вида, обучение элементам исследования задачи, обучение умению обосновать правильность решения задачи и т.п.
Виды дополнительной работы:
· Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием.
· Постановка нового вопроса к уже решенной задаче, постановка всех вопросов, ответы на которые еще можно найти по данному условию.
· Сравнение содержания данной задачи и ее решения с содержанием и решением другой задачи.
· Решение задачи другим способом или с помощью других средств – другим методом: графическим, алгебраическим и др.
· Изменение числовых данных в задачи, так чтобы появился новый способ решения или наоборот, чтобы один из способов решения стал невозможен.
· Исследование решения. (Сколько способов решения имеет задача? При каких условиях она не имела бы решения? Какие приемы наиболее целесообразны для поиска решения этой задачи? Возможны ли другие методы решения?)
· Обоснование правильности решения (проверка решения задачи любым из известных приемов.)
· Установление соответствия между содержанием задачи и схематическим рисунком (чертежом, таблицей, какой-либо иной формой краткой записи) и, наоборот, между чертежом и содержанием задачи.
· Выбор среди данных задач той, которая соответствует данному чертежу, рисунку.
· Выбор среди нескольких данных рисунков (чертежей, таблиц и т.п.) того, который соответствует данной задаче.
· Нахождение ошибок в данном чертеже, таблице и т.п. (посторонних к данной задаче.) Целью последних четырех видов является формирование умения пользоваться различными моделями задачи для поиска ее решения, т.к. обоснования соответствия содержания задачи чертежу, рисунку и т.д. является обязательной операцией при решении задачи с помощью этих моделей.
· Выбор среди данных задач, задач данного вида (таких же, какие решали сегодня на уроке, или задач, или задач, которые решаются также, как только что решенная). Этот вид работы необходим для формирования умения решать задачи определенного вида: например, умения решать задачи с отношением «больше (меньше) на …», «больше (меньше) в …раз», простые задачи с величинами «цена», «количество», «стоимость» и т.п.
· Классификация простых задач по действиям, с помощью которых они могут быть решены. (действие может быть указано устно, отмечено карандашом в учебнике, показано на карточке и т.п.)
· Обнаружение ошибок в решении задачи.
· Исключение из текста задачи лишних данных, лишних условий. Пример: «Не решая задачи, скажите, какие данные здесь лишние. Объясните почему. Подтвердите это, выполнив решение.»
· Дополнение содержания задачи недостающими для решения данными или отношениями.
· Выбор тех задач, которые ученик может решить устно. Основная цель этого вида работы – закрепление умения решать задачи, осознание смысла действий.
Реализовать разнообразные функции задач поможет и выполнение такого известного вида работы с задачами, как составление задач самими учащимися.
Само составление задач тоже может осуществляться в разных видах работы, с разной степенью полноты.
Это:
· дополнение задачи недостающими данными;
· постановка вопроса к данному условию;
· составление задачи по чертежу, рисунку; числовым данным и т.п.
· составление задачи, аналогичной данной по способу решения; с такими же числовыми данными, но с другим решением;
· дополнение условия задачи сведениями, меняющими способ решения, но не меняющими результат решения;
· составление задачи по данной записи решения, по уравнению;
· составление и решение задачи, обратной данной.
Важно помнить, что нет, и не может быть, раз и навсегда принятого алгоритма работы с задачами на уроке. Вид и форма организации деятельности детей с помощью задач полностью зависит от целей, для достижения которых задача включена в урок.
Понятие простой задачи, ее виды
Простая задача – это задача, решаемая одним действием. Их значение состоит в том, что только на решении простых задач можно объяснить детям смысл арифметических действий над числами, познакомить младших школьников с ситуациями, в которых необходимо применить то или иное действие, например, практически узнать, что такое сумма или разность, как узнать, на сколько единиц или во сколько раз одно число больше другого. При решении простых задач раскрывается зависимость между величинами, например между скоростью, временем и расстоянием.
Без умения решать простые задачи дети не смогут научиться решать составные задачи, т.к. решение любой сложной задачи сводится к решению нескольких простых задач. Из всего выше сказанного следует, что решению простых задач в начальной школе необходимо уделять достаточное внимание.
Существуют различные классификации простых задач. Например, простые задачи, решаемые в начальной школе, можно разбить на два класса: задачи, при решении которых формируется представление об арифметических операциях, и задачи, в которых раскрывается смысл отношений «больше», «меньше». Однако такая классификация малоэффективна, т.к. математические понятия изучаются во взаимосвязи.
Простые задачи можно разделить на группы в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении. Можно выделить три такие группы.
Первая группа задач – это простые задачи, при решении которых усваивается конкретный смысл каждого из арифметических действий, т.е дети усваивают, какое арифметическое действие соответствует той или иной операции над множествами.
В этой группе можно выделить пять задач:
1) Задачи на нахождение суммы двух чисел.
На лугу паслись 3 козы и 4 овцы. Сколько домашних животных паслось на лугу? (2, 1 класс)
2) Задачи на нахождение остатка.
В теплице распустилось 50 тюльпанов. 30 тюльпанов срезали. Сколько тюльпанов осталось? (108. 1 класс)
3) Задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых, т.е. произведения.
У жука-плавунца 6 ног. Сколько ног у 3 жуков-плавунцов? (4, 2 класс)
4) Задачи на деление на равные части.
Фрекен Бок испекла 21 ватрушку и разложила поровну на 3 тарелки. По сколько ватрушек она положила на каждую тарелку? (108, 2 класс)
5) Задачи на деление по содержанию.
Винни-Пух раздал своим друзьям 12 воздушных шариков, по 3 каждому другу. Сколько друзей было у Винни-Пуха? (104, 2 класс)
Вторая группа задач – это простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся задачи на нахождение неизвестных компонентов.
1) Нахождение первого слагаемого по неизвестным сумме и второму слагаемому.
Летят утки и 2 гуся. Сколько летит уток, если всего летит 10 птиц? (133, 1 класс)
2) Нахождение второго слагаемого по известным сумме и первому слагаемому.
С одного персикового дерева собрали 6 ящиков персиков и несколько ящиков – со второго. Всего собрали 13 ящиков. Сколько ящиков персиков собрали со второго дерева? (146, 1 класс)
3) Нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и разности.
У мамы было несколько метров ситца. Она сшила себе сарафан из 3 м, и у неё осталось 9 м ситца. Сколько метров ситца было у мамы сначала? (148, 1 класс)
4) Нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности.
В книге было 13 сказок. Когда Юля прочитала несколько сказок, ей осталось прочитать ещё 6 сказок. Сколько сказок прочитала Юля? (149, 1 класс)
5) Нахождение первого множителя по известным произведению и второму множителю.
Петя купил несколько карандашей на 36 руб. по цене 4 руб. за карандаш. Сколько карандашей он купил? (145, 3 класс)
6) Нахождение второго множителя по известным произведению и первому множителю.
Один стакан яблочного сока стоит 8 руб. Сколько стаканов сока купили, если заплатили 32 руб.? (144, 3 класс)
7) Нахождение делимого по известным делителю и частному.
Несколько апельсинов разложили на 8 тарелок по 3 апельсина в каждую. Сколько всего апельсинов положили на тарелки? (37, 2 класс)
8) Нахождение делителя по известным делимому и частному.
Ребята из кружка «Умелые руки» разместили на выставочном стенде свои 27 аппликаций в несколько рядов по 9 работ в каждом. Сколько рядов аппликаций было на выставке? (Задача, обратная задаче 34, 2 класс)
Третья группа задач – простые задачи, при решении которых раскрываются понятия разности (6 видов) и кратного отношения (6 видов).
1) Разностное сравнение чисел (первый вид).
Жаворонки живут 8 лет, а воробьи – 10 лет. На сколько лет дольше живут воробьи? (197, 1 класс)
2) Разностное сравнение чисел (второй вид).
Дикие голуби живут 13 лет, а дрозды – 7 лет. На сколько лет меньше живут дрозды, чем дикие голуби? (201, 1 класс)
3) Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма).
Свете 7 лет, а её брат Гриша на 10 лет старше. Сколько лет Грише? (92, 1 класс)
4) Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма).
У кошки 30 зубов, это на 12 зубов меньше, чем у собаки. Сколько зубов у собаки? (249, 1 класс)
5) Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма).
Мы выписали 3 газеты, а журналов – на 2 меньше, чем газет. Сколько журналов мы будем получать? (59, 1 класс)
6) Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма).
Обезьяна живёт 40 лет, это на 5 лет дольше, чем живёт верблюд. Сколько лет живёт верблюд? (250, 1 класс).
Назовем задачи, связанные с понятием кратного отношения.
1) Кратное сравнение чисел или нахождение отношения двух чисел (первый вид).
Феде 8 лет, а его маме 32 года. Во сколько раз мама старше своего сына? (169, 2 класс).
2) Кратное сравнение чисел (второй вид).
Дедушке 54 года, а его внучке 6 лет. Во сколько раз внучка младше своего деда? (174, 2 класс)
3) Увеличение числа в несколько раз (прямая форма).
В одной бочке было 36 вёдер воды, а во второй в 2 раза больше, чем в первой. Сколько вёдер воды во второй бочке? 84, 2 класс
4) Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма).
Школьники собрали на своём огороде 4 кг помидоров. Это в 2 раза меньше, чем огурцов. Сколько килограммов огурцов собрали школьники? 199.2
5) Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма).
На улице Колокольчиков Цветочного города проживали 20 коротышек, а на улице Маргариток – в 2 раза меньше. Сколько коротышек проживали на улице Маргариток? 79.
6) Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма).
В Машином наборе 24 фломастера. Это в 4 раза больше, чем в наборе её брата. Сколько фломастеров в наборе брата? 201, 2 класс
Здесь названы только основные типы простых задач, и они, конечно же, не исчерпывают все типы простых задач, решаемых в начальной школе. Тем не менее, такая классификация дает возможность установить, каких задач недостает в учебниках и восполнить обнаруженные пробелы, это позволит обеспечить подбор задач разнообразных видов для решения их учащимися.
Подготовительная работа к обучению детей решению задач
Важнейшим умением, необходимым ребенку для правильного решения простых задач, является умение правильно выбирать арифметическое действие в предложенной ситуации.
Знакомство учащихся с арифметическими действиями сложения и вычитания можно распределить на 2 этапа:
1) подготовка к правильному пониманию различных сюжетных ситуаций, соответствующих смыслу действий;
2) знакомство со знаком действия и обучение составлению соответствующего математического выражении.
При работе над задачей большое значение имеет умение понимать ситуацию задачи, правильно моделировать ее, выбирать и объяснять выбор действия.
Как было уже сказано выше, большинство предлагаемых детям задач дается в стандартной форме. При этом условие выражено повествовательным предложением и предшествует требованию, которое выражено вопросительным предложением. Дети достаточно успешно справляются с такого рода задачами. Но при встрече с нетиповыми текстами дети теряются и не могут с ними работать.
К нетиповым текстам относятся тексты, в которых требование выражено повествовательным предложением или текст задачи сформулирован одним предложением и т.д.
Например, задачу «Ребята запустили 6 воздушных змеев четырёхугольной формы и 3 треугольной формы. Сколько всего воздушных змеев запустили ребята?» (6, 1 класс) можно сформулировать также в виде: «Ребята запустили 6 воздушных змеев четырёхугольной формы и 3 треугольной формы. Найдите количество запущенных ребятами воздушных змей.» или «Сколько воздушных змеев запустили ребята, если среди них было 6 воздушных змеев четырёхугольной формы и 3 треугольной формы.
Такие тексты учат ребенка анализировать задачу, устанавливать связи между данными и искомым для осознанного выбора действия. В противном случае ребенок будет просто манипулировать числами, которые есть в тексте, не задумываясь над смыслом этих действий.
Для того чтобы ребенок научился находить ответ на требование задачи не пересчетом, а путем выполнения арифметических действий, необходимо аккуратно относиться к использованию наглядности. При решении задачи наглядность вначале выставляется, сосчитывается, записывается числами, а затем убирается (в конверт, за ширму и т.д.)
Рассмотрим пример. Учитель активно использует наглядность, стараясь облегчить восприятие детьми условия задачи. Рассмотрим задачу: «На прилавке лежало 12 дынь. Мы купили 2 дыни. Сколько дынь осталось на прилавке?» (106 1 класс). Если к доске прикрепить 12 рисунков дынь, а затем 2 рисунка дынь убрать, то на доске останутся рисунки дынь, о которых спрашивается в задаче. При этом ответ на требование задачи можно будет получить пересчетом, а не путем выполнения арифметических действий. Дети также смогут правильно ответить на вопрос о выборе действия, т.к. рисунки дынь с доски убрали. Дети запоминают, что слова «стало», «вместе» и т.д. связаны с действием сложения, а слова «осталось», «улетели» и т.д. – с действием вычитания.
Но часто встречаются задачи, в которых эти слова указывают не на указанное, а на противоположное действие. Например: «Петя подарил другу 12 фишек, у него осталось ещё 15 фишек. Сколько фишек было у Пети?» (162, 1 класс) Т.к. в задаче используются слова «подарил» и «осталось», то некоторые дети предполагают, что задача решается действием вычитания.
Необходимым условием подготовки ребенка к обучению решению задач является умение выполнять действия над множествами. До введения простых задач на нахождение суммы необходимы упражнения на объединения множеств, при этом можно использовать различную предметную наглядность: палочки, кружочки, треугольники и т.д. Подготовкой к решению задач на вычитание будет удаление части множества, на умножение – объединение равночисленных множеств, на деление – разбиение множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. С помощью операции над множествами также раскрывается смысл отношений «меньше на несколько единиц», «меньше в несколько раз» и др.
При проведении подготовительной работы можно использовать задания на составление рассказа по картинке с последующей записью этого рассказа с помощью математического выражения.
Например: составь рассказ по картинке, который соответствовал бы записи 
+ =
Можно составить, например, такой рассказ: «Было 3 красных и 4 синих шарика. Всего было 7 шариков.»
Рассказ на первых порах не должен содержать вопроса. Целью такого задания является научить составлять математическое выражение или равенство в соответствии с заданной ситуацией. Поскольку ситуация задана с помощью рисунка, то сделать это ребенку не так сложно.
Если учитель не добавляет и не убирает элементы, а картинка дана в готовом виде, то дети лишаются подсказки (элементы добавили – прибавляем, убрали – вычитаем), что несколько усложняет задание.
Если ребенок затрудняется в составлении рассказа, то можно облегчить задание, указав в выражении конкретные числа. Например, составить по картинке рассказ в соответствии с выражением 7 – 3 = 4. Это может быть такой рассказ: «Было 7 шариков. Из них 3 было красного цвета. Значит, шариков синего цвета было 4.»
При последующей подготовительной работе конкретные рисунки можно заменять более абстрактными (треугольниками, кружочками, квадратиками и т.д.).
Например: составьте рассказы по следующему рисунку:
 |
|
|
|
 |
|
Можно составить следующие тексты:
1) 4 квадратика и 2 кружочка, всего 4 + 2 – 6 фигур;
2) всего 6 фигур, из них 4 квадрата, а кружочков 6 – 4 = 2;
3) всего 6 фигур, из них 2 кружочка, а квадратов 6 – 2 = 4;
4) квадратов 4, а кружочков 2, значит квадратов больше чем кружочков на 4 – 2 = 2;
5) квадратов 4, а кружочков 2, значит кружочков меньше чем квадратов на 4 – 2 = 2.
Большинство арифметических задач связано с величинами, поэтому до включения в задачу ту или иную величину, необходимо детей с этой величиной ознакомить. Для решения задач также необходимо, чтобы дети осознали связи между величинами. Это можно сделать при решении конкретных задач.
Задачи на нахождение суммы и остатка
Первые задачи, с которыми раньше всего встречается ученик, должны быть самыми простыми для их понимания. К таким задачам относятся задачи на нахождение суммы и остатка. Это первые задачи, с которыми встречаются дети, на их примерах ученики знакомятся с задачей, с ее частями, овладевают некоторыми общими приемами работы над задачей.
Задачи на нахождение суммы и остатка вводятся одновременно. Это происходит по двум причинам: одновременно вв одятся действия сложения и вычитания, умение решать эти задачи формируется лучше в противопоставлении.
Подготовкой к решению задач такого вида является выполнение операций над множествами. Дети должны уметь находить число элементов в объединении непересекающихся множеств и в разности множеств. Кроме того, они должны усвоить, что операции объединения множеств соответствует действие сложение, а операции удаления части множества – вычитание. Задания такого типа дети выполняют практическим путем, а результат находят пересчетом.
Например, подготовительный этап к решению простых задач на нахождение суммы и остатка может содержать следующие задания: на наборном полотне (или на экране) учитель выставляет 3 яблока и 2 груши и просит показать, сколько всего яблок и груш. Затем на доске ученик записывает математическое выражение, с помощью которого можно найти число фруктов, а затем находит его значение. Чтобы нахождение значения выражения не сводилось к пересчитыванию предметов, груши и яблоки можно убрать в непрозрачный пакет или корзинку, и пересчитать их только после того, как будет найдено значение выражения.
Рассмотрим подготовительную работу перед решением задач на нахождение остатка. Например, в коробке было 7 карандашей (карандаши пересчитываются и убираются в коробку), 2 карандаша из коробки достали (2 карандаша из коробки убираются). Надо узнать, сколько карандашей в коробке осталось. При организации такой работы исключается возможность поиска ответа путем пересчета, а также появляется возможность проверить практическим путем полученный результат.
При ознакомлении с задачами на нахождение суммы и остатка первые задачи можно предлагать не в готовом виде, а предложить детям составить их самим. При этом можно пользоваться наглядностью, но так, чтобы искомое было спрятано и дети не смогли бы найти ответ на требование задачи путем пересчета.
Далее вводится решение готовых задач вначале под руководством учителя, а затем самостоятельно. Рассмотрим один из вариантов знакомства учащихся с задачей на нахождение суммы двух чисел на примере задачи: «В вазе лежали 4 яблока и 3 груши. Сколько фруктов лежало в вазе?» (8, 1 класс). После прочтения и анализа текста задачи ее содержание иллюстрируется на наборном полотне (в один кармашек наборного полотна устанавливается 4 «яблока», в другой – 3 «груши»). «Чтобы ответить на вопрос задачи, т.е. узнать, сколько фруктов лежало в вазе, сложим фрукты в одну вазу (все «фрукты» устанавливаются в одном кармашке наборного полотна). Сколько фруктов мы положили в вазу? 4 яблока и 3 груши. В математике говорят так: к четырем прибавили три и записывают: 4 + 3. Сколько фруктов оказалось в корзинке? Семь. Записываем решение задачи: 4 + 3 = 7.
Для того чтобы подготовить детей к выбору действия без опоры на предметы, необходимо каждый раз устанавливать, что когда придвинули еще 2 треугольника, купили еще 3 открытки и т.д., всех предметов стало больше. Делаем вывод: когда прибавляем, становится больше; в дальнейшем это становится основой для выбора действия. Аналогично проводится подготовка к решению задач на нахождение остатка.
При работе над задачей учитель может использовать также задания такого вида: «Составьте задачу, чтобы она решалась при помощи выражения 3 + 5» и т.д.
Рассмотрим один из вариантов знакомства учащихся с задачей на вычитание. Например, предлагается такая задача: «В вазе лежало 5 яблок. Три яблока съели. Сколько яблок осталось в вазе?». Выполним иллюстрацию на наборном полотне: установим на наборном полотне 5 рисунков с яблоками. Затем три рисунка с яблоками с наборного полотна уберем. Проговариваем: было 5 яблок, 3 съели, осталось 2 яблока. В математике выполненное действие записывается так: 5 – 3 = 2. Говорят, что из 5 вычли 3 и получили 2.
В дальнейшем ребенок выбирает действие при решении такого вида задачи без использования иллюстраций, используя опорные слова: израсходовали, съели, подарили и т.д. Однако, выбор действия, с помощью которого решается задача, опираясь только на опорные слова, может быть ошибочным. Например, дана задача: «На ветке сидели воробьи. Вначале улетело 3 воробья, а потом улетело еще 5 воробьев. Сколько всего воробьев улетело с ветки?». В задаче говорится о том, что воробьи улетели, т.е. их стало меньше, т.е. можно предположить, что задача решается действием вычитания. На самом деле, чтобы ответить на вопрос задачи, надо к трем прибавить пять, т.е. задача решается сложением. Поэтому необходимо научить детей общим приемам работы над задачей.
Учитель или дети читают задачу, при этом задача воспринимается в целом. При повторном чтении ученики могут выложить на партах цифры, обозначающие числовые данные задачи, а искомое число обозначают вопросительным знаком. Затем ученики объясняют, что обозначает каждое число, и что требуется найти. Следующий шаг: дети представляют, о чем говорится в задаче, и выясняют, какое число получится в результате, больше или меньше данных чисел. Это может помочь детям с правильным выбором действия.
В дальнейшем при работе над задачей действие выбора происходит на основе ранее сформированной связи: например: съели, стало меньше, значит, надо вычесть.
Если ребенок затрудняется с выбором действия, при помощи которого решается задача, можно использовать наглядное предметное моделирование, исключающее нахождение ответа к требованию задачи пересчетом. При этом следует помнить, что пользоваться этим приемом постоянно не стоит. Можно предметную наглядность постепенно заменять схематическим моделированием. При этом модель должна наглядно иллюстрировать объединение непересекающихся множеств или удаление части множества.
Рассмотрим задачу: «Аэросани до обеда проехали 20 км, а после обеда – ещё 10 км. Сколько километров проехали аэросани? (22, 1 класс)
Схема к данной задаче будет выглядеть так:
 |
Рассмотрим задачу на нахождение остатка: «Мальчик-с-пальчик по дороге в лес бросил 15 хлебных шариков. 9 шариков склевала вредная ворона. Сколько шариков осталось? (105, 1 класс) Модель к этой задаче будет выглядеть так:
 |
Схемы, соответствующие процессу объединения множеств, содержат стрелки, направленные внутрь, а схемы, к задачам на вычитание – стрелки наружу.
Такие схемы показывают в явном виде связи между данными и искомыми, это может помочь ученику с выбором действия. Кроме того, при составлении такой схемы ребенок учится анализировать условие задачи и выбирать действие для нахождения ответа осознанно. В дальнейшем на схеме можно ставить знак + или - соответственно.
Рассмотрим вариант работы над задачей с использованием такой модели. Пусть дана задача: «С дерева сначала улетело 6 птиц, а потом ещё 7 птиц. Сколько всего птиц улетело с дерева? (47, 1 класс) Составим схему к задаче. Закрепим на доске карточки с числами, которые даны в условии задачи. Мы не знаем, сколько всего птиц улетело с дерева, поэтому обозначим этих птиц знаком вопроса. Покажем стрелками, какие птицы улетели.
 |
По схеме видно, что для того, чтобы ответить на вопрос задачи, нужно числа сложить. Ставим на схеме знак «+», а затем записываем решение: 6 + 7 = 15.
Еще один вариант построения модели задачи – с помощью отрезков. Научить ребенка использовать такие схемы для решения самых простых задач полезно, т.к. это умение может оказать существенную помощь при решении в дальнейшем задач более сложных.
Такой чертеж может быть двух видов. В первом случае длина отрезка, выраженная в клеточках или в сантиметрах, соответствует данным задачи, и ответ на требование задачи можно получить простым пересчетом. В другом случае длины отрезков не соответствуют условию задачи; они лишь отражают зависимости между данными и искомыми, при этом численные значения записываются числами. В этом случае вариант пересчета становится невозможным, и ответ можно найти, выполнив необходимые действия над числами, указанными на чертеже. Первый вариант графической схемы возможен лишь в случае небольших числовых данных и необходим при знакомстве со схемами такого вида.
Графическая схема в виде отрезков более абстрактна по сравнению со схематическим рисунком и требует определенного уровня умения составлять и читать такие графические изображения данных в задаче ситуаций.
Рассмотрим задачу: «Сеня отрезал 9 см тесьмы, а Петя – 8 см. Сколько сантиметров тесьмы отрезали оба мальчика?» (24, 1 класс).
Изобразим длину тесьмы Сени в виде отрезка а, а длину тесьмы Пети отрезком b. Тогда длину отрезанной тесьмы можно изобразить при помощи отрезка АВ, состоящего из отрезка АВ, равного а, и отрезка ВС, равного b. Длина всего отрезка АВ равна сумме длин отрезков АВ и ВС, поэтому длину отрезанной тесьмы находим действием сложения: 9 + 8 = 17 (м).
Аналогично обосновывается выбор действия и при решении задач на вычитание: «У Вадика было 50 рублей. Он купил книгу за 30 рублей. Сколько денег у него осталось?» (104, 1 класс) Изобразим деньги, которые были у Вадика, в виде отрезка а, а деньги, которые он потратил на книгу – в виде отрезка b. Тогда оставшиеся деньги будут изображены отрезком с. Т.к. значение длины отрезка с равно разности отрезков а и b, то ответ на требование задачи находим действием вычитания: 50 – 30 = 20 (руб.) Данные в задаче числа достаточно большие, поэтому воспользуемся вторым вариантом графической модели, когда длины отрезков не соответствуют числам в условии задачи.
Для того чтобы сформировать у учащихся умение выбирать арифметические действия для решения задач, можно предложить задания, в которых дети по условию задачи выбирают нужную схему. Пусть дана задача: «На совете класса ребята решили собрать 300 кг макулатуры. 160 кг они собрали. Сколько килограммов ещё осталось собрать?» (125, 1 класс) Предлагается из данных схем выбрать ту, которая соответствует данной задаче.
Другое задние – постановка вопроса, который соответствует предложенной схеме к условию задачи.
Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц
Среди простых задач, рассматриваемых в начальной школе, большую долю составляют задачи, в которых требуется увеличить или уменьшить множество на несколько единиц.
Выражение «на несколько единиц больше» можно объяснить детям, сопоставляя его с выражением «столько же и еще несколько». Поэтому при решении такого рода задач детьми должно быть хорошо усвоено понятие «столько же». Для этого можно предложить решить несколько задач, где встречаются эти слова. Например: «Около школы растут 5 берез и столько же лип. Сколько лип растет у школы?». Или на наборном полотне можно выставить 4 кружочка и попросить ребенка выставить столько же квадратиков.
Подготовительной работой к решению задач такого вида могут служить такие практические упражнения, как, например: положите на парту 3 кружочка и 5 треугольников так, чтобы треугольник лежал под кружочком. Каким фигурам пары не хватило? Сколько треугольников осталось без пары? Это означает, что треугольников на 2 больше, чем кружочков, или кружочков на 2 меньше, чем треугольников.
Рассмотрим задачу: «В конструкторе было 10 деталей синего цвета, а зелёного – на 5 деталей больше. Сколько деталей зелёного цвета было в конструкторе?» (54, 1 класс) Может показаться, что задача очень простая. Большинство учеников без помощи учителя скажут, что деталей зеленого цвета в конструкторе 10 + 5 = 15. Это происходит потому, что до этого дети решили уже достаточное количество задач, раскрывающих конкретный смысл действия сложения. В условии задачи есть два числа и опорное слово «больше», которое подсказывает, что нужно выполнить действие сложение. При этом правильное решение еще не означает, что ученик действительно понимает смысл выполненного им действия.
Пусть множество А состоит из деталей синего цвета, а множество В содержит только 5 деталей синего цвета. Если мы объединим множества А и В, то мы не получим множество деталей зеленого цвета (складывать детали синего и зеленого цвета не имеет смысла). На самом деле решение задачи состоит в нахождении числа элементов в объединении множества В с множеством С, которое содержит остальные детали зеленого цвета. При этом численность множества С равна численности множества А. Получаем, что деталей зеленого цвета столько же, сколько деталей синего цвета, т.е. 10, да еще 5 деталей. Таким образом, при сложении 10 и 5 мы находим число элементов в объединении двух множеств, в каждом из которых содержаться детали синего цвета.
Задачи на уменьшение числа на несколько единиц решаются аналогично. Рассмотрим задачу: «В созвездии Малая Медведица 7 звёзд, а в созвездии Кассиопея на 2 звезды меньше. Сколько звёзд в созвездии Кассиопея?» (52, 1 класс) Проиллюстрируем решение задачи при помощи наглядности. На одной планке наборного полотна выставим 7 звезд, например, желтого цвета, а на другой планке – 7 звезд другого цвета. Уберем со второй планки 2 «лишние» звезды. Остается, что в созвездии Кассиопея 7 – 2 = 5 (звезд).
В процессе решения задач с использованием предметной наглядности дети усваивают, что «увеличение на несколько единиц» связано со сложением, а «уменьшение на несколько единиц» связано с вычитанием.
Для того чтобы показать учащимся отличие этого нового типа задач от тех, которые решались ранее, можно одновременно рассмотреть оба типа задач, которые содержат одинаковые числовые данные. Задача 1: «Мы выписали 3 газеты и 2 журнала. Сколько газет и журналов мы будем получать?» Задача 2. «Мы выписали 3 газеты, а журналов – на 2 больше, чем газет. Сколько журналов мы будем получать?» (59, 1 класс)
При решении задач такого вида полезно воспользоваться схемами.
Костя нашёл 16 грибов, а Стёпа – на 4 гриба больше. Сколько грибов нашёл Стёпа? (61, 1 класс)
После чтения задачи ее данные записываются в схему.
Сколько грибов нашел Костя? (16) Записываем число 16 на доску или выставляем карточку с этим числом.
Сколько грибов собрал Степа? (Это мы не знаем.) Обозначим неизвестное на схеме знаком вопроса.
Что сказано про Степины грибы? (Степа нашел грибов на 4 больше.)
При помощи какого действия можно найти число грибов, которые нашел Степа? (Сложением.) Поставим знак сложения на схеме:
Схема к задаче на уменьшение числа на несколько единиц будет аналогичной.
Другим вариантом схем, также как при решении предыдущих задач, являются схемы с использованием отрезков.
По схеме видно, что у Степы грибов столько же, сколько у Кости, да еще 4 гриба. По схеме становится понятно, что для того чтобы ответить на вопрос задачи, мы 4 гриба прибавляем не к Костиным грибам, а к 16 грибам Степы.
Применение разного рода схем позволит избежать ошибок в дальнейшем при решении задач на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, которые даны в косвенной форме. В противном случае у детей может сформироваться устойчивое мнение о том, что если в задаче есть слово «больше», то надо прибавлять, а если есть слово «меньше», то – вычитать.
Задачи на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого
В задачах на нахождение одного из слагаемых наиболее часто встречается формулировка со словами «из них». Например: «На десерт подали яблоки и груши, всего 10 фруктов. 4 из них были яблоки, а остальные груши. Сколько было груш?»
Перед решением таких задач необходимо познакомить детей с формулировкой: «из них…на одном; сколько на другом?» На наборном полотне (на плакате, на слайде) учитель выставляет 7 треугольников, из них 4 синие, а остальные желтые и задает вопросы: «Сколько всего треугольников?», «Сколько синих треугольников?», «А какие остальные треугольники?». После этого учитель объясняет, что про треугольники можно сказать, что здесь 7 треугольников, из них 4 синие, а остальные – желтые.
При объяснении задачи, в которой надо по общему числу и одной части надо найти другую часть, можно также воспользоваться наглядностью. Рассмотрим задачу: «На десерт подали яблоки и груши, всего 10 фруктов. 4 из них были яблоки, а остальные груши. Сколько было груш?» (142, 1 класс) Учитель предлагает детям вначале пересчитать все фрукты, а затем пересчитать яблоки. После этого наглядность убирается, и учитель предлагает детям узнать количество груш. В этом случае детям будет необходимо произвести вычисления, отнять от 10 фруктов 4 фрукта. В случае затруднения можно выбрать из всех фруктов 4 яблока и отодвинуть их, чтобы показать, что эти 4 яблока надо отнять из общего числа фруктов.
Рассмотрим возможность применения различных схем при решении такого рода задач на следующем примере: «С одного персикового дерева собрали 6 ящиков персиков и несколько ящиков – со второго. Всего собрали 13 ящиков. Сколько ящиков персиков собрали со второго дерева?» (146, 1 класс)
В задаче отсутствуют указания на выбор действия, а слова «всего стало» ассоциируются у детей с действием сложения, что может привести к неверному решению.
Чтобы этого не произошло, разберем задачу и одновременно с этим составим схему.
Учитель задает вопрос: «Сколько ящиков персиков собрали с одного персикового дерева?» (Шесть.) После этого учитель или ученик ставит карточку с числом 6 или записывает число на доске. Следующий вопрос: «Сколько ящиков персиков собрали с другого дерева?» Т.к. этого мы не знаем, то ставим знак вопроса.
– Сколько всего ящиков персиков собрали? (Тринадцать.) обозначим число всех собранных ящиков на схеме.
Покажем стрелками на схеме, что 13 ящиков складываются из ящиков персиков, собранных с первого дерева и из ящиков персиков, собранных со второго дерева:
Если мы знаем, сколько ящиков персиков собрали всего и сколько собрали с первого дерева, сможем ли мы узнать, сколько ящиков персиков собрали со второго дерева? Каким действием мы можем это узнать? (Вычитанием.)
На схеме ставится знак «–», и записывается решение задачи: 13 – 6 = 7 (ящиков).
Рассмотрим также схему с отрезками для решения данной задачи.
– Сколько было персиковых деревьев по условию задачи? (Два.) Чертим друг за другом два отрезка.
– Что известно в задаче? (С первого дерева собрали 6 ящиков персиков, а с двух деревьев – 13 ящиков.) Записываем эти числа на схеме.
– Что надо найти? (Сколько ящиков персиков собрали со второго дерева?) Ставим над вторым отрезком знак вопроса.
По схеме видно, что известно целое и часть. Требуется найти вторую часть. Ее можно найти действием вычитания.
Рассмотрим решение задач на нахождение уменьшаемого. К решению этих задач можно подвести детей, показав наглядно, что уменьшаемое включает в себя вычитаемое и остаток.
Рассмотрим задачу: «Федя собрал несколько моделей гоночных машинок. После того как он подарил 5 машинок друзьям, у него осталось 6 машинок. Сколько гоночных машинок было у Феди?» (135, 1 класс) На наборном полотне выставим 5 рисунков машинок – это машинки, которые подарил Федя. На некотором расстоянии от них выставим еще 6 машинок – это машинки, которые остались у Феди. Как узнать, сколько всего машинок было у Феди? (Надо к 5 прибавить 6, получим 11 машинок.) Проверим, действительно ли у Феди было 11 машинок. Для этого пересчитаем все Федины машинки.
Наглядное объяснение задач этого типа необходимо лишь на первом этапе. Нужно приучать детей восстанавливать описанные в задаче действия в воображении. Дети должны представить, что у Феди первоначально были те машинки, которые он подарил, и те, которые у него остались.
При этом ученик представляет описанные в задаче действия в обратном порядке. В задаче описаны события в таком порядке: 1) Федя собрал несколько гоночных машинок. 2) Федя подарил 5 машинок. 3) У Феди осталось 6 машинок.
Ученик воспроизводит мысленно указанные события в обратном порядке: У Феди осталось 6 машинок, Федя подарил 5 машинок, у Феди было … машинок.
Такие рассуждения помогают ученику выбрать действие, которое надо выполнить, чтобы найти неизвестное первоначальное число, от которого отняли данное в задаче число.
Покажем схемы, которые можно составить при разборе этой задачи.
Было несколько машинок (ставим знак вопроса), часть из них (5 машинок) подарили, а другая часть (6 машинок) осталась.
При составлении схемы с отрезками рассуждаем аналогично.
Объяснение решения задач на нахождение вычитаемого по уменьшаемому и остатку также можно провести при помощи наглядности. Рассмотрим задачу: «У Жени был волшебный цветок с 7 лепестками, выполняющий желания. После исполнения нескольких желаний у цветка осталось 3 лепестка. Сколько Жениных желаний исполнилось?» (132, 1 класс)
Подсчитаем число лепестков на цветке. Оторвем несколько лепестков (которые улетели при исполнении желаний) так, чтобы осталось 3 лепестка. Надо узнать, сколько лепестков улетело. Рассуждаем так: «Сначала было 7 лепестков, 3 из них остались, а остальные улетели. Надо от 7 лепестков отнять 3, тогда узнаем, число лепестков, которые улетели.
Трудность решения задач такого вида связано с необходимостью применить рассуждение, которое приводит к выводу, что первоначальное количество лепестков заключает в себе и то количество лепестков, которое было отнято, и то, которое осталось.
В дальнейшем при необходимости объяснение решения задачи можно проиллюстрировать на схеме с отрезками.
По схеме хорошо видно, что количество улетевших лепестков находится вычитанием: 7 – 3 = 4 (лепестка).
Задачи на разностное сравнение
В задачах на разностное сравнение требуется сравнить два числовых значения множества или два числовых значения величины (длина, масса, время) и найти, на сколько одно из них больше или меньше другого.
Для того чтобы детьми было усвоено решение такого вида задач, они должны не только знать смысл отношений «меньше» и «больше», но и понимать двоякий смысл разности: если первое число больше второго на несколько единиц, то второе число меньше первого числа на столько же единиц.
Рассмотрим подготовительную работу к решению задач этого типа:
1) Положите в одну вазу 5 яблок, а во вторую – на 2 яблока больше. Сколько яблок положили во вторую корзину? (7) На сколько яблок больше во второй вазе? (На 2.) Что можно сказать о числе яблок в первой вазе? (Их меньше.) Сколько яблок не хватает в первой вазе, чтобы их стало столько, сколько во второй вазе? (2 яблока.) На сколько яблок в первой корзине меньше? (На 2.) Значит, если во второй вазе на 2 яблока больше, чем в первой, то в первой вазе на 2 яблока меньше, чем во второй.
2) Детям предлагаются устные вопросы, например: «В пенале карандашей на 2 меньше, чем ручек. Что можно сказать о числе ручек в пенале?»
3) Детям предлагается задачи со словами «на несколько единиц меньше» преобразовать в задачи со словами «на несколько единиц больше» и наоборот. Например, дана задача: «В русском алфавите 10 гласных букв, а согласных букв – на 11 больше. Сколько согласных букв в русском алфавите?» (70, 1 класс). Учитель просит детей составить задачу с теми же данными, но словом «меньше». В новой задаче надо узнать количество гласных букв.
4) Часто в задачах слова «больше» и «меньше» заменяют другими словами, например: «выше» и «ниже», «короче» и «длиннее», «дороже» и дешевле» и т.д. Поэтому перед решением таких задач необходимо уточнить, насколько хорошо дети понимают эти понятия.
Обучение младших школьников решению задач такого типа следует начинать с объяснения на наглядном материале.
На одной планке наборного полотна выкладываем 7 красных кружочков, а на нижней – 4 зеленых кружочка. Ученики указывают, каких кружочков меньше, а каких – больше. Ученики также указывают, что красных кружочков на 3 больше, а зеленых кружочков на 3 меньше. Дети вместе с учителем выясняют, что для того, чтобы установить, на сколько больше красных кружочков, нужно отодвинуть столько красных кружочков, сколько на нижней планке зеленых кружочков (4 кружочка). При этом на верхней планке останется 3 красных кружочка. Значит, красных кружочков на 3 больше, чем зеленых. Чтобы ответить на вопрос задачи, мы из 7 красных кружочков вычли 3 красных кружочка, получаем решение задачи: 7 – 4 = 3 (кружочка). Таким образом, дети выясняют, что для того чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.
Если при объяснении решения задач на разностное сравнение числовых значений множеств удобно воспользоваться наглядностью, то при решении задач на разностное сравнение числовых значений величин удобно воспользоваться схемами в виде отрезков.
Начинать объяснение таких задач лучше с задач на разностное сравнение числовых значений длины. Рассмотрим задачу: «Жук-олень имеет длину 7 см, а уссурийский усач – 11 см. Какой из жуков больше и на сколько сантиметров?» (235, 1 класс)
По схеме видно, что нижний отрезок длиннее. Учитель спрашивает, каким словом можно заменить слово «длиннее»? Дети отвечают: «больше». Значит, больше уссурийский усач. Покажем на схеме дугой, на сколько уссурийский усач больше. Путем пересчета можно узнать, что второй отрезок длиннее первого на 4 см. Значит, узнать, на сколько сантиметров одна полоска длиннее другой можно выполнив действие вычитания. Записываем решение задачи: 11 – 7 = 4 (см).
Использование таких схем полезно будет в дальнейшем при решении более сложных составных задач. Однако при решении задач совсем необязательно использовать схемы, где длины отрезков соответствуют данным условия задачи. В этом случае необходимо обозначить соответствующие значения величин числами.
При решении задач на разностное сравнение с использованием наглядности или схем учителю необходимо каждый раз обращать внимание детей на то, что в каждой задаче при нахождении, на сколько одно число больше или меньше другого выполняется действие вычитание. На основе этих наблюдений можно сделать вывод, что, для того чтобы узнать, на сколько единиц одно число больше или меньше другого, надо из большего числа вычесть меньшее. Усвоив данное правило, ученики решают задачи данного вида, опираясь на сделанный вывод.
Чтобы дети не относились к решению этих задач формально, необходимо чередовать задачи на разностное сравнение с задачами на увеличение числа на несколько единиц. Рассмотрим две задачи: «Костя нашёл 16 грибов, а Стёпа – на 4 гриба больше. Сколько грибов нашёл Стёпа? (61, 1 класс) и «В саду растут 15 яблонь и 8 слив. На сколько яблонь больше, чем слив, растёт в саду?» (200, 1 класс) В той и другой задаче есть слово «больше», однако, первая задача решается действием сложения, а вторая – вычитанием. Дети объясняют, что при решении первой задачи мы находим число, которое больше данного на несколько единиц, а при решении второй узнаем, на сколько одно число больше другого.
Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, выраженных в косвенной форме
Для того чтобы ребенок научился хорошо решать задачи такого типа, он прежде всего должен хорошо знать двоякий смысл разности, который раскрывается при решении задач на разностное сравнение.
Как правило, задачи на разностное сравнение и задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, выраженных в косвенной форме, вводятся одновременно. Так же как при решении и других простых задач, при знакомстве с задачами данного вида необходимо использовать наглядность и подробно выполнять анализ задачи. Например, детям предлагается положить на стол красные и желтые квадраты в два ряда так, чтобы красных квадратов было 4 и чтобы их было на 2 меньше, чем желтых.
Учитель задает ряд вопросов. Сколько желтых квадратов пожили? (6.) Как узнали, что надо положить 6 желтых квадратов? (К 4 прибавили 2.) В задаче сказано «на 2 меньше», а вы прибавляли. Почему? (На 2 меньше красных квадратов, значит, желтых квадратов на 2 больше. Поэтому, чтобы найти число желтых квадратов, надо к 4 прибавить 2.)
При ознакомлении детей с решением задач важно научить детей делать подробный анализ задачи. При разборе задачи дети должны выяснить, что необходимо узнать в задаче, и установить, больше или меньше это число данного. Вначале дети анализируют задачу под руководством учителя, а затем привыкают делать анализ самостоятельно. Это заставляет детей вдумчиво читать задачу, а не выхватывать отдельные слова и числа из условия задачи.
Рассмотрим задачу: «У кошки 30 зубов, это на 12 зубов меньше, чем у собаки. Сколько зубов у собаки?» (249, 1 класс) ученик рассуждает следующим образом: «В задаче надо узнать, сколько зубов у собаки. Нам известно, что у кошки на 12 зубов меньше, чем у собаки, значит, у собаки на 12 зубов больше, чем у кошки. Задачу решаем действием сложения. Надо к 30 прибавить 12.»
Чтобы у детей не появились некоторые стереотипы при решении таких задач, необходимо их чередовать с задачами на увеличение и уменьшение на несколько единиц, выраженных в прямой форме. Например: 1) Карлсон съел 6 сладких ватр
