Применение теоремы об изменении кинетической энергии системы

Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы.

" Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему на соответствующих перемещениях точек системы"

= .

(1.1)

=0, так как в начальный момент система в покое.

, так как тела абсолютно твердые, нити нерастяжимые (система неизменяемая).

Тогда

.

(1.2)

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в систему

(1.3)

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5-поступательно, а тело 3 вращается, выражаем кинетическую энергию по формулам соответствующего вида движения:

= ; ; .

(1.4)

Выразим все скорости (линейные и угловые) через искомую угловую скорость :

; ;

(1.5)

точка МЦС катка 1.

Найдем центральные моменты инерции:

(однородный цилиндр) (ступенчатый блок)

(1.6)

Подставив все величины (1.5) и (1.6) в равенства (1.4), а затем, используя равенство (1.3) получим:

(1.7)

Найдем работу всех внешних сил при перемещении системы, когда центр катка 1 пройдет путь .

Работа сил , и равна нулю, т.к. точки приложения этих сил и - соответствующий мгновенный центр скоростей.

Силы приложены к неподвижным точкам и работы не совершают.

Реакция перпендикулярна перемещению груза, поэтому работа ее равна нулю.

Работу совершают сила , сила тяжести катка , сила трения скольжения груза , пара сил сопротивления на блоке 3 с моментом и сила упругости пружины:

(1.8)

Введем обозначения:

- перемещение груза 5 ();

угол поворота шкива 3;

и - начальное и конечное удлинение пружины.

1.1 Определение угловой скорости w₃

	(1.9)
где:
, т.к. М = const

Все перемещения выражаем через заданное перемещение , учитывая, что зависимость между перемещениями будет такой же, как между соответствующими скоростями (рисунок 1.1):

.

Так как , то и .

- перемещение точки Е (конца пружины).

,

(т.к. точка МЦС блока 2).

.

.

Тогда:

(1.10)

Рисунок 1.1

Подставляя в формулы (1.9) значения и а так же считая =0 из условия задачи, далее находим сумму работ внешних сил:

(1.11)

Подставляем выражения (1.7) и (1.11) в уравнение (1.2)

(1.12)

Из равенства (1.12), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость :

.

рад/с.

1.2 Определение углового ускорения e₃

Определяем угловое ускорение , пользуясь выражением (1.12), составленным по теореме об изменении кинетической энергии.

Преобразуем правую часть уравнения, группируя члены, содержащие перемещение и

(1.13)

Введем обозначение постоянных множителей

.	(1.14)
.
.

Тогда выражение (1.13) запишется в следующем виде:

(1.15)

Причем (1.15) справедливо в любой момент, т.е. и .

Дифференцируя (1.15) по времени получим:

	(1.16)
.
.

Следовательно:

(1.17)

Сокращая на ≠ 0, найдем искомое угловое ускорение:

(1.18)

рад/с².