Краткая теория. Рассмотрим модель движения математического маятника при произвольном (не малом) начальном угле отклонения

Рассмотрим модель движения математического маятника при произвольном (не малом) начальном угле отклонения.

Рис. Математический маятник

Поскольку нить подвеса считается нерастяжимой, то у маятника одна степень свободы. Удобно принять за нее угол между нитью подвеса и вертикалью.

Уравнения движения имеют вид:

. (2.1)

В случае малых колебаний (колебаний с малой амплитудой) оно превращается в так называемое уравнение малых колебаний, отличающееся от полного заменой в правой части sin(q) на q. Задача о малых колебаниях имеет простое аналитическое решение

q = A cos(w t + j), (2.2)

где A ¾ амплитуда колебаний, w ¾ частота, j ¾ начальная фаза. A и j можно выразить через начальные условия ¾ угол q ₀и скорость v₀:

, . (2.3)

Частота колебаний w = ; отметим, что она, равно как и период колебаний , в приближении малых колебаний не зависит от начальной амплитуды.

Малые колебания маятника ¾ пример так называемого гармонического движения, описываемого простой тригонометрической функцией (см. (2.1)).

Для численного эксперимента удобно представить уравнение колебаний в форме системы двух уравнений первого порядка:

(2.4)

Входные параметры модели:

l — длина нити подвеса;

q ₀— начальное отклонение маятника;

х ₀— начальная угловая скорость.

Колебания маятника с трением в точке подвеса описывается следующим уравнением:

(2.5)

где, как и выше, , h ¾ коэффициент трения.

Уравнение (2.5) равносильно системе уравнений

(2.6)

Трение приводит, в частности, к тому, что в зависимости от соотношения h и w появляются разные режимы движения: затухающие колебания и затухание без колебаний. Одна из задач исследования ¾ найти на фазовой плоскости (h, w) зависимость линии, разделяющей два режима, от начального отклонения маятника.

Входные параметры модели:

w — частота собственных малых колебаний маятника;

q ₀— начальное отклонение маятника;

х ₀— начальная угловая скорость;

h — коэффициент трения.

Вынужденные колебания маятника описываются уравнением

, (2.7)

где f ¾ амплитуда, l ¾ частота вынуждающей силы.

Уравнение (2.7) равносильно системе уравнений

(2.8)

При l» w наступает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. При l = w эта амплитуда в приближении малых колебаний формально бесконечна, однако само приближение при этом не работает. Исследовать резонанс в отсутствии трения, пользуясь базовым уравнением колебаний.

Вынужденные колебания проходят через два этапа ¾ переходный процесс и стационарные колебания с частотой вынуждающей силы. При l» w переходный процесс сопровождается биениями ¾ особым видом пульсирующих колебаний. Исследовать зависимость амплитуды биений от различных параметров системы.

Входные параметры модели:

w — частота собственных малых колебаний маятника;

q ₀— начальное отклонение маятника;

х ₀— начальная угловая скорость;

h — коэффициент трения.

f — амплитуда вынуждающей силы;

l — частота вынуждающей силы.

При периодическом изменении длины нити подвеса уравнений колебаний принимает вид

(2.9)

где l ¾ частота колебаний длины нити подвеса.

Уравнение (2.9) равносильно системе уравнений

(2.10)

Одно из принципиальных явлений, связанных с этими колебаниями ¾ появление так называемого параметрического резонанса при некоторых соотношениях частот l и w ₀:

l» w ₀/ 2, l» w ₀, l» 3 w ₀/ 2,...

Входные параметры модели:

w ₀ — частота собственных малых колебаний маятника;

q ₀— начальное отклонение маятника;

х ₀— начальная угловая скорость;

h — коэффициент трения.

a — амплитуда модуляции;

l — частота модуляции.

Контрольные вопросы

1. Как выглядят математические модели следующих движений:

· колебаний математического маятника без трения?

· малых колебаний математического маятника без трения?