2015-06-24
405
С целью упрощения математических преобразований, рассмотрим функцию двух аргументов 
, предполагаю её достаточно гладкой, т.е. имеющей в достаточной окрестности точки (x, y) непрерывные производные первого порядка. Предположим также, что известны абсолютные 
, 
и относительные 
, 
погрешности её аргументов. Поставим задачу определить абсолютную 
и относительную 
погрешности вычисления функции в точке (x, y).
Оценим абсолютную величину погрешности функции. С этой целью, используя теорему Лагранжа, получим
(1.9)
где 
.
Используя, далее свойство модуля суммы, имеем
.
И, наконец, исключая зависимость оценки от неизвестных величин 
, получим
,
где 
, 
,
.
Обозначим
.
Если в начале преобразований (1.9) к исходному выражению прибавить 
, то в результате аналогичных действий получим вторую оценку
,
где
,
где
, 
.
Тогда, очевидно, в качестве необходимо взять наименьшую из них, т.е. положить
.
Если же допустить, что вполне естественно, достаточную малость абсолютных погрешностей , то в качестве можно взять более простую, однако несколько завышенную оценку
. (1.10)
Действительно, в силу 
, 
, очевидно 
и 
.
В этом случае из (1.10) для 
следует выражение
(1.11)
Аналогичным образом, для функции нескольких переменных 
, получим
и
,
где
.
