2015-06-24
286
В принципиальном плане он представляет собой обобщение ранее рассмотренного метода касательных.
Предположим, что исходная система уравнений имеет вид (5.4) или в свернутом виде
. (5.41)
Пусть 
,- некоторое приближение к решению. Разложим левые части (5.4), (5.41) по формуле Тейлора, ограничиваясь учетом малых первого порядка. В результате этого, получим
,
или, в более удобном, матричном виде
,
где 
,- матрица Якоби системы функций 
. Предполагая, что 
, разрешим последнее уравнение относительно x. Тогда
и на основе этого соотношения формируется вычислительный процесс
 , (5.5)
|
который и называется методом Ньютона.
Если последовательность 
сходится к некоторому вектору x, то он очевидно, и является решением системы (5.41). Действительно, в этом случае из (5.5) следует
,
откуда, в силу , .
Вопросы сходимости последовательности (5.5) могут быть изучены также, как в п. 5.2. Достаточным для реализации метода в области D, содержащим решение, является требование 
.
