Система аксиом Гильберта (обзор)

По Гильберту, база структуры евклидова пространства состоит из трех множеств , , . Элементы множества называются точками и обозначаются буквами , , ,...; элементы множества называются прямыми и обозначаются буквами , , ,...; элементы множества — плоскостями и обозначаются буквами , , ,... Основными отношениями являются отношения, которые обозначаются словами: "принадлежит" (или "лежит на"), "лежит между" и "конгруэнтны".

Список аксиом содержит 20 аксиом, которые разбиты на пять групп.

I группа аксиом — аксиомы принадлежности.

I . Для любых двух точек и существует прямая, которой принадлежит каждая из них.

I . Существует не более одной прямой, которой принадлежит каждая из двух данных точек и .

I . На каждой прямой существуют по крайней мере две точки. Существуют по меньшей мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

I . Для любых трех точек , , , не принадлежащих одной прямой, существует плоскость, которой принадлежит каждая из этих точек; каждой плоскости принадлежит по меньшей мере одна точка.

I . Каковы бы ни были три точки , , , не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежит каждая из трех точек , , .

I . Если две точки и прямой принадлежат плоскости , то и каждая точка прямой принадлежит плоскости .

I . Если две плоскости и имеют общую точку , то они имеют по меньшей мере еще одну общую точку .

I . Существуют по меньшей мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Следствия.

1. Через всякие две точки проходит одна и только одна прямая.

2. Всякие две прямые имеют не более одной общей точки.

3. Через каждые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

4. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна и только одна плоскость.

5. Через всякие две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость.

Доказываются теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости, двух плоскостей.

С помощью аксиом принадлежности нельзя, например, доказать, что множества точек прямых, плоскостей бесконечны.

II группа аксиом — аксиомы порядка.

II . Если точка лежит между точкой и точкой , то , , — три различные точки одной прямой и лежит также между и .

II . Если и — две точки, то на прямой всегда существует по меньшей мере одна точка , что лежит между и .

II . Из трех точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.

II . (Аксиома Паша.) Пусть , , — три точки, не лежащие на одной прямой, и — прямая в плоскости , не проходящая ни через одну из точек , , . Тогда если прямая проходит через внутреннюю точку отрезка , то она проходит также через внутреннюю точку одного и только одного из двух других отрезков или .

Из первой и второй групп аксиом можно вывести:

1. Существование бесконечного множества точек на прямой (отрезке).

2. Деление прямой на два луча, плоскости — на две полуплоскости, пространства — на два полупространства.

3. Ряд теорем об угле, ломаной, многоугольнике.

III группа аксиом — аксиомы конгруэнтности.

Конгруэнтность будем обозначать знаком .

III . Если дан отрезок и луч OX, то на луче существует такая точка , что . Всегда .

III . Если и , то .

III . Пусть и — два отрезка прямой без общих внутренних точек и пусть и — два отрезка прямой (отличной от или с ней совпадающей) также без общих внутренних точек. Если , , то .

III . Пусть дан выпуклый угол , луч и полуплоскость , ограниченная прямой . Тогда в полуплоскости существует один и только один луч такой, что . Всегда и .

III . Если для двух треугольников и имеем , , , то .

С помощью групп аксиом I—III можно доказать следующие теоремы:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании конгруэнтны.

2. Первый, второй и третий признаки конгруэнтности треугольников.

3. Существование прямого угла и конгруэнтность прямых углов.

4. Теоремы о делении отрезка и угла пополам.

5. Существование параллельных прямых в плоскости.

6. Свойства внешнего угла треугольника.

Условимся в дальнейшем в ряде случаев вместо термина "конгруэнтный" пользоваться привычным термином "равный". Особенно это относится к углам.

IV группа аксиом — аксиомы непрерывности.

IV (аксиома Архимеда). Пусть и — какие-либо отрезки и пусть на луче c вершиной взяты точки A , , ,..., расположенные так, что лежит между и , точка лежит между и и т. д., причем отрезки , , ,... конгруэнтны отрезку . Тогда существует такой номер , что точка лежит между и .

IV (аксиома Кантора). Пусть на произвольной прямой дана бесконечная последовательность отрезков , , ,..., из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего, пусть при этом не существует отрезка, лежащего внутри всех отрезков данной последовательности. Тогда на прямой существует одна и только одна точка , лежащая внутри всех отрезков , , ,...

Вместо аксиом Архимеда и Кантора в эту группу может быть включена только одна аксиома Дедекинда.

IV (аксиома Дедекинда). Если все точки отрезка , включая и его концы разбиты на два непустых класса так, что:

1) каждая точка отрезка принадлежит одному и только одному из этих классов, точка принадлежит первому классу, а точка — второму классу;

2) каждая точка первого класса, отличная от точки , лежит между и любой точкой второго класса, то на отрезке существует одна и только одна такая точка , что всякая точка, лежащая между и , принадлежит первому классу, а всякая точка, лежащая между и , принадлежит второму классу. Сама точка принадлежит либо первому, либо второму классу.

Точка называется точкой, производящей разбиение, а само разбиение — дедекиндовым разбиением.

С помощью аксиом I–IV групп можно доказать следующие теоремы:

1. Теорему о пересечении прямой и окружности.

2. Теорему Саккери—Лежандра о сумме углов треугольника.

3. Построить теорию измерения отрезков.

V группа аксиом — аксиома параллельности.

Через точку, не лежащую на данной прямой в плоскости, ими определяемой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Замечание. Из аксиом I—III групп следует, что существуют прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, например, два перпендикуляра к одной прямой. Такие прямые называются параллельными. Из факта существования параллельных прямых и из аксиомы параллельности V следует:

через точку, не лежащую на данной прямой, в плоскости, ими определяемой, проходит одна и только одна прямая, параллельная данной.

Как следствие из аксиом I—V верна

Теорема [1.2]. Если сумма углов в любом треугольнике равна двум прямым углам, то имеет место V постулат.

Лекция № _ 5 __.

Тема: ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО _

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Определение плоскости Лобачевского.

2. Свойства параллельных на плоскости Лобачевского.

3. Треугольники и четырехугольники.

4. Угол параллельности. Функция Лобачевского.