Условимся считать, что все прямые, рассматриваемые нами, являются направленными. Поэтому мы будем обозначать их двумя буквами, например, , считая, что точка предшествует точке . Предполагается также, что точки и выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой, лежат между точками и .
Определение [2.1]. Будем говорить, что прямая A’A параллельна прямой В’B в точке P в данном направлении и обозначать A’A , если:
1) эти прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек;
2) для любой точки всякий внутренний луч угла пересекает луч (рис. 17).
Теорема [2.1]. Если прямая в точке в данном направлении, то в любой другой точке в том же направлении.
Теорема [2.2]. (симметричность). Если , то .
Теорема [2.3]. (транзитивность). Если , , то .
Замечание. На евклидовой плоскости симметричность и транзитивность параллельности прямых непосредственно следует из определения. В геометрии Лобачевского эти свойства доказываются довольно сложно. Примем их без доказательства.
Теорема [2.4]. Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, или равные накрест лежащие углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые расходятся.
|
|
Следствие 1. Сумма внутренних односторонних углов при двух параллельных, пересекаемых третьей прямой, не равна 2d, она меньше 2d для углов, расположенных от третьей прямой в направлении параллельности. Соответственные углы при параллельных и накрест лежащие углы не равны.
Заметим, что это следствие является прямым отрицанием V постулата.