Окружность, эквидистанта, орицикл

Поскольку на плоскости Лобачевского возможны три случая взаимного расположения двух прямых, то на ней существует три различных типа пучков, а именно а) пучок пересекающихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, проходящих через одну точку — центр пучка; б) пучок расходящихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, перпендикулярных к некоторой прямой; в) пучок параллельных прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, состоящее из некоторой направленной прямой и всех направленных прямых, параллельных ей.

С каждым пучком связаны определенные линии: окружность, эквидистанта, орицикл.

Определение [6.1]. Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Это определение относится к абсолютной геометрии, поэтому окружность — линия как евклидовой плоскости, так и плоскости Лобачевского. Все теоремы об окружности, вытекающие из аксиом абсолютной геометрии верны и в той, и в другой геометрии. Отметим те свойства окружности, которые связаны с пучком.

1 . Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через центр. Такая прямая называется осью окружности.

2 . В каждой точке окружности существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания.

Таким образом, окружность пересекает свои оси под прямым углом. Поэтому окружность — это ортогональная траектория пучка пересекающихся прямых.

Определение [6.2]. Эквидистантой называется множество всех точек полуплоскости с границей , равноудаленных от этой прямой — базы эквидистанты. Расстояние от любой точки эквидистанты до базы называется высотой эквидистанты, а прямая, проходящая через точку эквидистанты перпендикулярно к базе, называется осью эквидистанты.

Отметим без доказательства некоторые свойства эквидистанты.

1 . Любая прямая, лежащая в плоскости эквидистанты, пересекается с ней не более, чем в двух точках.

2 . Эквидистанта симметрична относительно любой своей оси.

3 . В каждой точке эквидистанты существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания.

Таким образом, эквидистанта так же, как и окружность, пересекает свои оси под прямым углом. Поэтому эквидистанта — это ортогональная траектория пучка расходящихся прямых.

Определение [6.3]. Орициклом называется ортогональная траектория пучка параллельных прямых.

Свойства орицикла аналогичны свойствам окружности и эквидистанты. Кроме того, можно показать, что все орициклы равны между собой.

7. Непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Независимость V постулата

В этом параграфе будет построена евклидова модель планиметрии Лобачевского, а именно модель Пуанкаре, с целью доказательства содержательной непротиворечивости планиметрии Лобачевского в рамках евклидовой геометрии.

По определению плоскость Лобачевского состоит из элементов двух родов: точек и прямых, связанных тремя основными отношениями "принадлежит", "лежит между", "конгруэнтны", которые удовлетворяют аксиомам I—IV групп аксиоматики Гильберта и аксиоме Лобачевского V (см. 1).

На евклидовой плоскости возьмем некоторую прямую , которая разделит плоскость на две полуплоскости и (рис.

Определение [7.1]. <<Плоскостью Лобачевского>> (коротко: Л-плоскостью) будем называть открытую евклидову полуплоскость с границей . Прямая называется абсолютом плоскости Лобачевского.

Определение [7.2]. <<Точкой Лобачевского>> (короче Л-точкой) будем называть каждую точку открытой полуплоскости .

Замечание. Из определения [23.2] следует, что точки абсолюта не являются точками Лобачевского.

Определение [7.3]. <<Прямой Лобачевского>> (коротко: Л-прямой) будем называть или всякую евклидову полуокружность, лежащую в и центр которой принадлежит абсолюту, или всякий открытый луч полуплоскости , перпендикулярный абсолюту и начало которого принадлежит абсолюту.

Замечание. Из определения [23.3] следует, что начало луча, задающего Л-прямую, не принадлежит этой Л-прямой, так как не является точкой Лобачевского.

Определение [7.4]. Будем говорить, что <<Л-точка принадлежит Л-прямой>> или она <<лежит>> на этой Л-прямой, если соответствующая евклидова точка принадлежит соответствующей евклидовой прямой или полуокружности.

Определение [7.5]. Пусть , , — три Л-точки, лежащие на Л-прямой . Будем говорить, что <<Л-точка лежит между Л-точками и >>, если евклидова точка лежит между евклидовыми точками и на соответствующей полуокружности или луче в евклидовом смысле.

Определение [7.6]. Два Л-отрезка и будем называть <<конгруэнтными>>, если существует такая конечная последовательность инверсий с центрами на прямой , композиция которых соответствующую дугу или отрезок отображает в соответствующую дугу или отрезок .