Понятие о сферической геометрии

Сферическая геометрия изучает свойства фигур, расположенных на сфере.

Рассмотрим некоторые понятия и их свойства в сферической геометрии.

1. Большая окружность.

Определение [1.1]. Пересечение сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы, называется большой окружностью, и — малой окружностью, если плоскость не проходит через центр сферы.

Большие окружности обладают следующими свойствами.

. Через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит только одна окружность; через две диаметрально противоположные точки проходит бесконечное множество

больших окружностей.

. Всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

2. Двуугольник. Одна большая окружность делит сферу на две части, каждая из которых называется полусферой; две большие окружности делят сферу на четыре части, каждая из которых называется двуугольником (рис. 48). Точки пересечения больших окружностей, образующих четыре двуугольника, называются вершинами этих двуугольников, а угол между касательными, проведенными в вершине, называется углом двуугольника.

На сфере двуугольник играет такую же роль, как угол на евклидовой плоскости. Только, в отличие от угла на евклидовой плоскости двуугольник имеет площадь.

Теорема [1.1]. Площадь двуугольника равна

где — угол двуугольника.

Определение [1.2]. Двуугольник называется прямоугольным, если .

Определение [1.3]. Две большие окружности, образующие прямоугольные двуугольники, называются перпендикулярными.

3 . Через каждую точку на сфере можно провести одну и только одну большую окружность, перпендикулярную данной большой окружности.

3. Расстояние и движение. Пусть и — две точки на сфере. Проведем через них большую окружность . Точки и делят окружность на две дуги.

Определение [1.4]. Длина той из двух дуг большой окружности с концами в точках и , которая не больше полуокружности, называется сферическим между этими точками.

Обозначение: — сферическое расстояние

Теорема [1.2]. Имеет место формула

где — длина отрезка .

Определение [1.5]. Движением сферы называется всякое изометрическое отображение сферы на себя, т. е. такое отображение, при котором для любых двух точек и сферы и их образов , выполняется равенство: .

Из формулы (1) следует, что . Поэтому можно сказать, что всякое движение сферы порождается некоторым движением евклидова пространства и обратно.

Определение [1.6]. Две фигуры и , лежащие на сфере, называются конгруэнтными или равными, если существует движение сферы, отображающее одну фигуру на другую.

Очевидно, множество всех движений сферы является группой. Следовательно, сферическая геометрия есть геометрия этой группы.

4. Сферический треугольник и его площадь.

Определение [1.7]. Сферическим треугольником называется множество, состоящее из трех точек , и сферы, не лежащих на одной большой окружности, и трех дуг , , больших окружностей, соединяющих попарно эти точки.