Лобачевского в схеме Вейля

Эллиптическая геометрия Римана.

Определение [2.1]. Пусть — трехмерное векторное евклидово пространство и —некоторое непустое множество, элементы которого назовем точками. Множество называется эллиптической плоскостью Римана, если задано отображение пространства на множество , причем:

1) — сюръекция, т. е. каждая точка из является соответственной для какого-то ненулевого вектора;

2) две точки из совпадают тогда и только тогда, когда задающие их векторы коллинеарны.

Построим эллиптическую плоскость с помощью сферы.

В качестве векторного пространства возьмем множество 3.5cm всех векторов евклидова пространства . Каждый такой ненулевой вектор можно задать направленным отрезком, отложенным от точки — центра некоторой сферы с радиусом . Через центр проведем в направлении вектора прямую , которая пересечет сферу в двух диаметрально противоположных точках и . Обозначим через множество всех пар диаметрально противоположных точек сферы. Таким образом, каждому вектору поставлена в соответствие единственная точка множества — пара диаметрально противоположных точек и сферы. Это соответствие, как нетрудно установить, обладает свойствами 1 и 2, указанными в определении эллиптической плоскости. Следовательно, построенное множество является эллиптической плоскостью Римана. Иначе говоря, эллиптическая плоскость Римана — это сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками. Роль прямых на эллиптической плоскости играют большие окружности с отождествленными диаметрально противоположными точками. Отметим два интересных факта:

1) на эллиптической плоскости Римана всякие две прямые пересекаются;

2) в эллиптической геометрии Римана сумма углов треугольника больше (см. следствие 2).

Гиперболическая геометрия Лобачевского.

Гиперболическая плоскость получается аналогично, но для этого надо заменить евклидово пространство псевдоевклидовым пространством . В свою очередь пространство определяется с помощью системы аксиом Вейля, в которой аксиома 4 (см. определение? евклидова пространства) о скалярном квадрате вектора ( и ) заменена следующей аксиомой:

4’ Существует ортонормированный базис { } такой, что , .

В пространстве длина вектора находится по формуле расстояние между точками A(x ) и B(x ) равно

Значит, квадраты длин векторов и расстояний между точками могут выражаться положительным, отрицательным или равным нулю числом.

В псевдоевклидовом пространстве на сферах роль прямых, так же как на сферах в евклидовом пространстве, играют сечения сфер плоскостями, проходящими через центр, которые также будем называть большими окружностями. Под расстоянием между двумя точками будем понимать (псевдоевклидову) длину соединяющей их дуги большой окружности.

Рассмотрим в пространстве сферу мнимого радиуса с уравнением где радиус является мнимым числом, т. е. ( — мнимая единица). Запишем уравнение этой сферы в виде

(2.6)

Заметим, что в евклидовом пространстве уравнение (1) есть уравнение двуполостного гиперболоида.

Определение [2.2]. Назовем гиперболической плоскостью сферу мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве с отождествленными диаметрально противоположными точками.

Гиперболическую плоскость можно представлять себе как одну полость двуполостного гиперболоида в евклидовом пространстве. Роль прямой играет ветвь гиперболы, при этом плоскость, в которой эта гипербола лежит, проходит через центр гиперболоида.

Пусть и —две гиперболы, и — плоскости, в которых они лежат, и пусть эти плоскости пересекаются по прямой . Тогда:

1) если проходит внутри гиперболоида, то и пересекаются;

2) если проходит вне гиперболоида, то и не пересекаются;

1) если является образующей асимптотического конуса гиперболоида, то и снова не пересекаются; в этом случае они называются параллельными.

Это позволяет сделать вывод, что геометрия сферы мнимого радиуса в трехмерном псевдоевклидовом пространстве есть геометрия Лобачевского. Поэтому геометрию Лобачевского называют также гиперболической геометрией Лобачевского.

Учебные наглядные пособия и ЦОР, используемые на лекциях

(при необходимости)