Задачи на доказательство в плоскости Лобачевского

Предполагается, что задачи, помещенные в этом параграфе, решаются на основе аксиом I –IV групп системы аксиом Гильберта и аксиомы параллельности V´ Лобачевского. Параллельные прямые предполагаются направленными.

1. Пусть || . Доказать, что если прямая UV лежит между и и не пересекает ни одну из них, то она параллельна данным прямым.

2. Пусть и — две различные прямые. Прямая АВ называется прямой равного наклона этих прямых, если ABB', точки А' и В' лежат по одну и ту же сторону от прямой АВ. Доказать предложения:

а) любые две прямые равного наклона на непересекающихся прямых
АА' и ВВ' отсекают конгруэнтные отрезки;

б) через каждую точку одной из двух данных непересекающихся
прямых АА' и ВВ' проходит одна и только одна прямая равного наклона.

Справедливы ли эти предложения, если прямые АА' и ВВ' пересекаются?

3. Пусть в четырехугольнике ABCD углы А и D прямые. Доказать предложения:

а) если [ CD ] [ АВ ], то В С;

б) если | CD| > | АВ |, то B > С.

4. Пусть ABCD — четырехугольник Саккери с прямыми углами А и D и боковыми сторонами АВ и CD ([ АВ ] [CD]). Доказать следующие предложения:

а) В С < d, где d — прямой угол;

б) прямая, соединяющая середины оснований AD и BС, перпендикулярна этим основаниям.

5. На сторонах угла BOA взяты точки В' и А' так, что В лежит между О и В', а A лежит между О и A'. Доказать, что дефект треугольника ОАВ меньше дефекта треугольника ОА'В'.

6. Доказать теорему: если серединные перпендикуляры двух сторон треугольника расходятся, то серединный перпендикуляр третьей стороны расходится с каждым из них и существует прямая, которая перпендикулярна всем трем серединным перпендикулярам.

7. Доказать, что угол, под которым виден диаметр [АВ] окружности из любой точки этой окружности, не совпадающей с концами диаметра, меньше прямого угла.

8. Доказать, что существует «треугольник с нулевыми углами», т. е. существуют три прямые AА', ВВ' и , удовлетворяющие условиям: AА' || С'С, А'А || ВВ', В'В || .