Интерпретация Клейна

Во всех задачах этого пункта построения выполняются на проек­тивной плоскости при помощи одной линейки. При этом предполагает­ся, что все точки абсолюта являются построенными точками.

12. Дан отрезок. Построить угол параллельности, соответствую­щий этому отрезку.

13. Дан угол (k, ) с вершиной А и луч k' (см. задачу 10) с на­чалом А'. Построить луч так, чтобы угол (k, ) был конгруэнтен углу (k', ').

14. Дан отрезок АВ. Построить середину этого отрезка.

15. Построить биссектрису данного угла (k, ).

4. Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1. Доказать предложения:

а) если АА' || ВВ' и АВ — прямая равного наклона этих прямых, то перпендикуляр, восставленный в середине отрезка АВ,, параллелен прямым АА' и ВВ';

б) множество середин всех отрезков равного наклона двух параллельных прямых принадлежит прямой, параллельной данным прямым.

2. Пусть АА', ВВ' и — различные попарно параллель­ные прямые. Доказать, что если АВ — прямая равного наклона прямых АА' и ВВ', а ВС — прямая равного наклона прямых ВВ' и , то АС — прямая равного наклона для прямых АА' и .

3. Сформулировать и доказать предложения, обратные предложе­ниям а) и б) задачи 5.

4. Пусть ABCD — четырехугольник Саккери с прямыми углами А и D и боковыми сторонами АВ и CD ([ АВ ] [CD]). Доказать следующие предложения:

в) основания AD и ВС принадлежат расходящимся прямым;

г) основание AD меньше основания ВС.

5. Доказать теорему: если серединные перпендикуляры двух сторон треугольника параллельны, то серединный перпендикуляр третьей стороны параллелен им обоим.

6. Доказать, что на плоскости Лобачевского существуют тре­угольники, удовлетворяющие условиям: серединные перпендикуляры сторон принадлежат пучку: а) пересекающихся прямых; б) парал­лельных прямых; в) расходящихся прямых.

7. На евклидовой плоскости дана окружность (абсолют), внутренние точки которой вместе с точками окружности обозначим через Q. Л-точки, Л-прямые и принадлежность Л-точек и «/7-прямых определяются так же, как и в задаче 3. Взаимно-однозначное преобразование точек множества Q называется Л-движением, если оно точки абсолюта переводит в точки абсолюта, любую хорду абсолюта пере­водит в хорду абсолюта и сохраняет сложное отношение четырех то­чек. Фигура F называется конгруэнтной фигуре F', если существует такое Л-движение, которое фигуру F переводит.в фигуру . Показать, что в построенной интерпретации выполняются все аксиомы I, II и III групп системы аксиом Гильберта и аксиома параллельности Лобачевского.

8. Дан угол, построить отрезок так, чтобы данный угол был углом параллельности, соответствующим этому отрезку.

9. Дан отрезок АВ и луч k', исходящий из точки А'. На луче k' найти такую точку В', чтобы отрезок АВ был конгруэнтен отрезку А'В'.

10. Дан угол (h, k). Построить луч так, чтобы луч k был бис­сектрисой угла (h, ).

11. Даны две расходящиеся прямые U₁V₁ и U₂V₂. Построить общий перпендикуляр данных прямых.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № ___ 7 ____

Тема: Неевклидовы геометрии. _______

Продолжительность _2 _ часа

План практического или семинарского занятия:

1. Вопросы, выносимые на обсуждение

Сферическая геометрия. Теоремы синусов и косинусов.

2. Краткие теоретические материалы

Рекомендуется изучить [3], §§ 2.4 – 2.6.

3. Практические задачи, задания, упражнения.