Гиперболическая геометрия Лобачевского

8. Доказать, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника, больше половины длины третьей сто­роны.

9. Доказать, что в прямоугольном треугольнике величина хотя бы одного из его острых углов меньше .

10. Доказать, что если серединные перпендикуляры двух сторон треугольника параллельны, то серединный перпендикуляр третьей стороны параллелен первым двум в одном и том же направлении.

11. Через точку, лежащую вне окружности, провести к ней касательную.

12. Доказать, что композиция двух осевых симметрии, оси которых расходятся, есть сдвиг. Построить ось сдвига и найти расстояние этого сдвига.

13. Построить четырехугольник Саккери по верхнему основа­нию и боковой стороне.

Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы.

1. Доказать, что во всяком сферическом треугольнике сумма двух углов без третьего меньше π, а сумма трех его углов принадле­жит интервалу (π, 3π).

2. В сферическом треугольнике против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны. Доказать.

3. Доказать, что в сферическом треугольнике против боль­шего угла лежит и большая сторона.

4. В сферическом треугольнике против большей стороны ле­жит и больший угол. Доказать.

5. Доказать, что композиция двух центральных симметрии есть поворот. Построить центр поворота и найти величину угла поворота.

6. Доказать, что на эллиптической плоскости существуют только три типа перемещений: поворот на угол, отличный от π, центральная (или осевая) симметрия и тождественное преобразо­вание.

7. Доказать, что угол между двумя прямыми равен расстоя­нию между их полюсами или расстоянию между точками пересече­ния этих прямых с их общим перпендикуляром (принимая г = 1).

8. Доказать, что три точки, не принадлежащие одной прямой, являются вершинами четырех треугольников и для каждого из них выполняется неравенство треугольника.

9. Доказать, что на плоскости Лобачевского вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, острый.

10. Через данную точку, не принадлежащую орициклу, про­вести касательную к орициклу.

11. Доказать, что композиция двух центральных симметрии есть сдвиг. Чему равно расстояние сдвига?

12. Построить орицикл, проходящий через данную точку и касающийся данной прямой.

Рекомендуется изучить [3], §§ 2.4 – 2.6.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № ___ 8 ____

Тема: Контрольная работа №2. _________

(наименование темы)

Продолжительность _2 _ часа