2015-06-30
753
Изучение различных явлений показывает, что многие случайные величины, например, ошибки при измерениях, при стрельбе, величина износа деталей во многих механизмах и т.д., имеют следующую плотность распределения вероятностей:
В этом случае говорят, что случайная величина подчинена нормальному закону распределения (или закону Гаусса).
Выражение 
, присутствующее в формуле плотности, позволяет сделать вывод о том, что кривая нормального распределения симметрична относительно прямой х=а.
Найдем 
.
Кривая нормального распределения или кривая Гаусса.
 |
Определим математическое ожидание случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения:
Таким образом, значение параметра а в формуле плотности равно математическому ожиданию рассмотренной случайной величины. Значит, точка х=а – центр распределения вероятностей величины, подчиненной нормальному закону. А т.к. при х=а 
принимает наибольшее значение, то а является модой этой случайной величины.
Кривая плотности 
или кривая Гаусса симметрична относительно х=а, следовательно,
.
Если в формуле плотности а =0, выражение принимает вид:
.
Следовательно, кривая распределения симметрична относительно оси координат О У и центр распределения вероятностей совпадает с началом координат.
Форма кривой распределения не зависит от параметра а, величина а лишь определяет сдвиг кривой распределения вправо 
или влево 
.
Рассмотрим 
, заданную плотностью нормального распределения:
; 
.
Найдем 
Итак, дисперсия равна параметру σ2 в формуле плотности распределения.
Выясним, как значение σ2 влияет на форму кривой нормального распределения. Наибольшего значения кривая нормального распределения достигает в точке а и равно оно 
. С возрастанием σ 
уменьшается. вдоль положительного направления оси ОУ.
 |
Следовательно, кривая будет более пологой, т.е. сжимается к оси ОХ. С убыванием σ увеличивается и кривая становится более «островершинной», т.е. вытягивается. Понятно, что при любых значениях а и σ площадь, ограниченная нормальной кривой и осью ОХ, всегда равна 1.
При а =0 и σ =1 получаем следующее выражение плотности:
Такую нормальную кривую называют нормированной.
Определим 
, если 
задана плотностью нормального распределения:
.
Преобразуем формулу так, чтобы можно было пользоваться таблицами значений функции Лапласа:
Пользуясь функцией Лапласа, получим:
.
Например, 
распределена нормально с параметрами а =30, σ=10.
Найдем 
.
Часто требуется вычислить вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально отклонится от математического ожидания а по абсолютной величине меньше, чем на заданное положительное число ε.
Например, 
распределена нормально с параметрами: а =20, σ=10.
Найдем 
.
Пусть 
распределена нормально, а=0 (для определенности).
Вычислим следующие вероятности:
Результат изобразим геометрически.
 |
Вывод: почти достоверно, что случайная величина отклонится от математического ожидания не больше, чем на 3σ. Это предложение называется правилом трех сигм.
На практике правило применяется так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие об отклонении выполняется, то можно предположить, что указанная величина распределена нормально; в противном случае – она не распределена нормально.
Нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Это объясняется теоремой, сформулированной и доказанной русским математиком Ляпуновым:
Если случайная величина Х – это сумма очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.
Закон Гаусса является предельным законом, к которому приближаются другие законы при типичных условиях.
