Числовые характеристики случайной величины

Случайная величина полностью определяется законом распределения.

Однако во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать СВ полностью, исчерпывающим образом. Достаточно указать отдельные числовые параметры, характеризующие основные черты распределения. Такие параметры называются числовыми характеристиками случайной величины. Числовые характеристики задают случайную величину косвенно, описывают случайную величину суммарно. В теории вероятностей применяется большое количество числовых характеристик, имеющих различное назначение. Из них рассмотрим только некоторые, наиболее часто встречающиеся характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Имеется ДСВ Х с соответствующим законом распределения:

х			…
			…

Математическим ожиданием ДСВ Х (М[х] или m_х) называют сумму произведений всех возможных значений этой величины на вероятности этих значений:

, при этом .

Если значения случайной величины образуют бесконечную последовательность, то . Мы будем рассматривать только такие случайные величины, для которых этот ряд сходится.

Замечание. Математическое ожидание случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Например, ДСВ задана законом распределения:

х
р	0,1	0,3	0,6

Задача. Производится один выстрел по объекту. Вероятность попадания р. ДСВ Х – число попаданий. Найти математическое ожидание величины.

Составим закон распределения:

Контроль: 1-р+р=1.

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Вероятностный смысл М[ Х ]: математическое ожидание приближенно равно (чем больше число испытаний, тем точнее) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. На числовой оси возможные значения случайной величины расположены слева и справа от М[ Х ]. Поэтому М[ Х ] называют центром распределения вероятностей случайной величины (точнее – абсциссой центра).

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной , где с – ДСВ, которая имеет одно возможное значение с и принимает его с р =1. Следовательно, .

2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: .

3. ,

где величины Х и У – независимы.

Случайные величины Х и У независимы, если закон распределения одной величины не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Последнее свойство распространяется на несколько случайных величин.

Например, независимые случайные величины Х и У заданы законами распределения:

х
р	0,7	0,2	0,1

у
р	0,6	0,4

Задача. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании трех игральных костей.

Составим закон распределения Х:

х
р

(для У и Z аналогично).

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р.

Теорема. , где Х – число появлений события А в n независимых испытаниях.

Доказательство: Общее число появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях.

Пусть Х ₁ – число появлений события в первом опыте; Х ₂ – число появлений события в втором опыте; … Х _n – число появлений события в n- ом опыте.

, по аналогии . Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Например, вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий при 10 выстрелах.

Например, вероятность попадания при одном выстреле р=0,2. Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.

Пусть дана случайная величина с соответствующим законом распределения. Обозначим ее математическое ожидание . Рассмотрим разность , такую случайную величину будем называть центрированной случайной величиной или отклонением.

Таким образом, математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.

Числовой характеристикой рассеивания, разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания является дисперсия.

Покажем целесообразность введения дисперсии:

Х:

х	-0,01	0,01
р	0,5	0,5

У:

у	-100
р	0,5	0,5

На рассмотренном примере понятно, что математическое ожидание не полностью характеризует случайную величину. На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Дисперсией случайное величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется характеристика или .

Для вычисления удобно использовать формулу:

Следовательно, , т.е. дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата математического ожидания этой случайной величины.

Задача. Найти двумя способами:

х
р	0,3	0,4	0,3

Первый способ (по определению):

Второй способ (по формуле):

х²
р	0,3	0,4	0,3

Свойства дисперсии:

1. ,

Это свойство распространяется на несколько случайных величин, взаимно независимых.

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянно и равна р, q – вероятность не появления события А в каждом испытании.

Случайная величина Х – число появлений событий А в n независимых испытаниях.

Теорема. Дисперсия биномиального распределения с параметрами n и р определяется по формуле: .

Доказательство:

Рассмотрим случайную величину Х (определена выше):

Причем, величины Х ₁,… Х _n - взаимно независимы, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.

,где

Х₁²	1²	0²
р	p	q

; .

Для - аналогично.

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Например, производится 10 независимых испытаний, в каждом вероятность появления события А равна 0,7.Найти , где Х – число наступлений события А в 10 испытаниях.

Рассмотрим НСВ , заданную плотностью распределения . Числовые характеристики НСВ те же, что и для ДСВ: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Математическим ожиданием величины с плотностью распределения называют

(если принимает значения на )

или

(если все возможные значения величины принадлежат промежутку ).

является центром распределения вероятностей непрерывной с лучайной величины .

Если кривая распределения симметрична относительно оси ОУ, следовательно, - четная функция. Значит, . Т.е. в этом случае центр распределения вероятностей совпадает с началом координат.

Дисперсией НСВ называют математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.

(аналогично для ).

Средним квадратическим отклонением НСВ называют характеристику:

НСВ (как и для ДСВ) характеризуют разброс, рассеяние значений случайной величины относительно .

Все свойства , рассмотренные для ДСВ, справедливы и для НСВ.

Для вычисления дисперсии НСВ легко получается следующая формула:

или .

Значение случайной величины, при котором плотность распределения принимает наибольшее значение, называется модой НСВ . Для НСВ , график которой изображен на предыдущем рисунке, мода совпадает с математическим ожиданием.

Число называется медианой НСВ, если оно удовлетворяет равенству:

или .

Другими словами, равновероятно, что случайная величина примет значение меньше Me или больше Me, хотя сама случайная величина может значение Me и не принимать.