2015-06-30
482
Степенным рядом назовем ряд вида 
cn(z-z0)n, z0 -центр, c n - коэффициенты заданные комплексные числа. При z= z 0 ряд сходится. Это может быть как единственная точка сходимости n!zn, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости zn /n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов c n.
Теорема Абеля. Если степенной ряд cn(z-z0)n сходится в точке z 1 ¹ z0, то он сходится и при " z: |z-z0|<|z1-z0 |, причем в круге |z-z 0| 
r <|z1-z0| сходится равномерно.
Следствия теоремы Абеля.
1. Если степенной ряд расходится в точке z2 ¹ z0, то он расходится и при " z: |z-z0|>|z2-z0 |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в " круге радиуса r <|z-z0 |, в частности и в точке z 2, что противоречит условию.).
2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим s up|z1-z0 |=R для " z1, где ряд сходится- точную верхнюю грань расстояний от точки z 0 до точек z 1 в которых сходится ряд cn(z-z0)n. Если R 
, то для " z2: |z2-z0 |>R ряд расходится. R=inf|z 2-z0 |=R для
" z2, где ряд расходится. ПустьR>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z 0|<R - круг сходимости степенного ряда, число R>0- радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне- расходится, в точках границы |z-z0 |=R может как сходиться, так и расходиться.
3. Формула Коши-Адамара. R=1/L, L= 
|
|
|
4. В " круге |z-z 0| r <R степенной ряд сходится равномерно. => По теореме Вейерштрасса cn(z-z0)n=f(z) 
C (|z-z0|<R).
5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется!
6. cn(z-z0)n=f(z)=> c0=f(z0), cn+1(n+1)(z-z0)n=f'(z)=> c1=f'(z0)…
cn+k(n+k)!(z-z0)n=f(k)(z)=> ck=f(k)(z0)/k!
7. Пример. (z-z0)n: " cn=1 => R=1. Sn=[1-(z-z0)n+1]/[1-(z-z0)]; |z-z0 |<1 и 
Sn=1/[1-(z-z0)]. => (z-z0)n=1/[1-(z-z0)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.
Итак cn(z-z0)n=> f(z) C (|z-z0 |<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?
Теорема Тейлора. Если f(z) C (|z-z0 |<R), то $! степенной ряд cn(z-z0)n =>f(z) при |z-z 0|<R.
Замечания. 1) Разложение функции f(z)= cn(z-z0)n называют разложением функции в ряд Тейлора.
2) По теореме Коши cn= 
, где C- произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z 0.
