Числовые и функциональные ряды

Пусть дана последовательность . Составим S_n= a_k- частичная сумма,
составим последовательность частичных сумм и рассмотрим a_k - числовой ряд.
Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если сходится {S_n}╝ S. Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда a_k=S.
Необходимый и достаточный признак сходимости: Критерий Коши сходимости числовой последовательности: для "e>0 $ N(e): | S_n+m-S_n|<e для "n N и "m>0.
Отсюда следует
Необходимый признак сходимости ряда (Но не достаточный!): a_n 0 при n ..

Определение. Если |a_k|< (сходится), то ряд называется абсолютно сходящимся.
Очевидно, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, ряд (-1)^k/k сходится, тогда как ряд 1/k- расходится,
Достаточными критериями абсолютной сходимости рядов являются признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера. Если начиная с некоторого номера N выполняется неравенство |a_n+1/a_n| L<1 для "n N, то ряд |a_k| сходится.
Если начиная с некоторого N |a_n+1/a_n| 1 для "n N, то ряд a_k расходится.
Признак Даламбера в предельной форме.
Если $ |a_n+1/a_n|=L, то при L<1 ряд |a_k| сходится, при L>1 ряд a_k расходится, при L=1 ничего сказать нельзя.

Признак Коши. Если начиная с некоторого N L<1 для "n N, то ряд |a_k| сходится.
Если начиная с некоторого N 1 для "n N, то ряд a_k расходится.
Признак Коши в предельной форме.
Если $ =L, то при L<1 ряд |a_k| сходится, при L>1ряд a_k расходится, при L=1 ничего сказать нельзя.

Пусть дана последовательность , z g. Выражение u_k(z)- называется функциональным рядом, заданным в g.
Определение. Если при " z g, соответствующий числовой ряд сходится к определенному комплексному числу w(z), то в g определена f(z)=w, которая называется суммой функционального ряда, а сам ряд называется сходящимся в g.

Если ряд сходится в g, то "e>0 $ N(e,z): | r_n(z)| <e для "n N(e,z).

Необходимый и достаточный признак сходимости:
Критерий Коши: для "e>0 $ N(e,z): | S_n+m(z)-S_n(z)| <e для "n N и "m>0.
Вообще говоря, в каждой точке z g N свое: N=N(e,z) и общего N для всей z может и не существовать.

Если для "e>0 $ N(e) что | r_n(z)| <e для "n N(e) и " z одновременно, то ряд. u_k(z) называется равномерно сходящимся к функции f(z) в g.
Обозначение: u_k(z)=>f(z).

Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости- критерий Коши:
Если для "e>0 $ N(e): | S_n+m(z)-S_n(z)| <e для "n N и "m>0 и " z одновременно, то ряд. u_k(z)=>f(z).

Достаточный признак равномерной сходимости Вейерштрасса. (Мажорантный признак Вейерштрасса).
Если |u_k(z)|<a_k, a_k>0 для "k N и "z g и a_k< (сходится), то u_k(z)=>f(z) в g.

Свойства равномерно сходящихся рядов:
1) Пусть u_k(z) С(g) и u_k(z)=>f(z), тогда f(z) С(g).

2). Пусть u_k(z) С(g) и u_k(z)=>f(z). Пусть С кусочно- гладкий контур C g конечной длины L: ds=L, тогда f(z)dz= u_k(z)dz.

3) Теорема Вейерштрасса. Если u_k(z) C (g) и u_k(z)=>f(z), для "z " ' g,
(для любой замкнутой подобласти области g) то:
1. f(z) C (g).
2. f^(p)(z)= u_k^(p)(z), для "z g.
3. u_k^(p)(z)=>f^(p)(z), для "z " ' g.

Пример. Ряд z^k/k² сходится равномерно в круге |z| 1, а ряд из производных z^k-1/k не может равномерно сходится в круге |z| 1, т.к. он расходится при z=1. Ряд z^k-1/k равномерно сходится при |z|<1.
II Теорема Вейерштрасса. Пусть u_k(z) C () и u_k(x)=>f(x), для x g. Тогда u_k(z)=>f(z), z .