Применение вычетов

Лемма Пусть f(z) C (|z|>R₀ Imz>0), за исключением конечного числа изолированных особых точек и |f(z)|<M/|z| ¹⁺^d, d >0. Тогда f(x =0.
(C'_R - полуокружность |z|=R Imz>0).

Замечания.
1. Если условия Леммы 18.1 выполнены при j ₁<arg z< j ₂, то f(x)d x =0.
(C'_R - дуга окружности, лежащая в данном секторе: |z|=R (j ₁<arg z< j ₂))
2. Условия Леммы 18.1 будут выполнены, если f(z) является аналитической в окрестности z , которая является нулем не ниже второго порядка для f(z).
Теорема. Пусть f(x) задана при - <x< и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z 0, имеющее конечное число изолированных особых точек z _n, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы. Тогда $ несобственный интеграл I-го рода f(x)dx=2 p i Выч[f(z),z _n].

Пример.

f(z)=

;

f(z)dz= =2 p iВыч[

,eⁱ^p^/n]=(z₀=eⁱ^p^/n -полюс 1-порядка)= =2 p i/(neⁱ^p^(n-1)/n)=-2 p i/(ne^-i^p^/n). С другой стороны,

f(z)dz= f(z)dz+ f(x)d x + f(z)dz.При R второе слагаемое 0
(по Замечанию 1 к Лемме). В третьем слагаемом z=xe ⁱ²^p^/n(f(xe ⁱ²^p^/n)=f(x)). Устремив R , получим f(x)dx-eⁱ²^p^/nf(x)dx= (1-eⁱ²^p^/n) f(x)dx=-2 p i/(ne^-i^p^/n) => f(x)dx=-2 p i/[(ne^-i^p^/n) (1-eⁱ²^p^/n)]= p /(n sin p /n).

Лемма (Жордана). Если f(z) C (|z|>R₀ Imz>0) за исключением конечного числа изолированных особых точек и f(z)=>0 при |z| (равномерно по arg z,
0 arg z p), z Imz>0, то при a>0 e^ia^xf(x)d x =0, C'_R - полуокружность
|z|=R Imz>0.

Теорема Пусть f(x) задана при - <x< и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z 0, имеющее конечное число изолированных особых точек z _n, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана. Тогда $ e^iaxf(x)dx=2 p i Выч[e ^iazf(z),z_n ], где z _n - изолированные особые точки в верхней полуплоскости Im z 0.

Пример. (k>0, a>0)= = == Re p iВыч[ ,ia] =(z₀ = ia -полюс 1-порядка)= Re p i(e^-ka/2ia)= p e^-ka/2a.

Определение. Функция комплексной переменной f(z) называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Некоторые интегралы
1. =sign(a) p /2
2. I= , 0<a<1; I= Выч[z ^a-1f(z),z_k]
3. I= , 0<a<1; I= Выч[z ^a-1(1-z)^-af(z),z_k], a₀= f(z).
4. I= f(x)ln(x)dx= p i Выч[f(z)(lnz-i p /2),z_k]

Пусть f(z) C ( \z₁,:z_N), z_n- полюса и f(x)÷ _x0. Тогда " x - правильная и $ f(x)÷ _x.
Определение. Функция j (z)=f'(z)/f(z)=[ln f(z)]' называется логарифмической производной функции f(z).
Вычеты j (z) в ее особых точках z_nназываются логарифмическими вычетами.
Особыми точками j (z) будут нули z⁰_kи полюса z_kфункции f(z). Как считать вычеты?
a) Пусть z⁰_k - нуль порядка n функции f(z); => f(z)=(z-z⁰_k)ⁿf₁(z), f₁(z⁰_k) 0 =>
=> j (z)=n/(z-z⁰_k)+f'₁(z)/f₁(z) => Выч[j (z),z⁰_k]=n.
b) Пусть z_k - полюс порядка p функции f(z);=> f(z)=y (z)/(z-z_k)^p, y (z_k) 0 =>
=> j (z)=-p/(z-z_k)+ y '(z)/y (z) => Выч[j (z),z_k]=-p.
Теорема Если f(z) C ( \z₁,:z_N), z_n- полюса и f(x)÷ _x0, то =N-P, где N- полное число нулей f(z) с учетом кратности, P- полное число полюсов f(z) с учетом кратности.

Принцип аргумента. Разность между полным числом нулей и полюсов функции f(z) в области g определяется числом оборотов, которое совершает очка w=f(z) вокруг точки w=0, при положительном обходе точкой z контура .