Конформные отображения

Геометрический смысл f ' (z₀) 0. Свойства постоянства растяжений и сохранения углов. Конформные отображения в точкею.
п.1. Геометрический смысл f'(z₀) 0.
Пусть w=f(z) C (g) и f'(z₀) 0, z₀ g. => $ f'(z₀)= D w/D z=ke^ia , k>0,
a - определенное действительное число. Выберем такой способ стремления D z 0, при котором точки z=z₀+D z g₁ g, z₀ g₁- некоторой гладкой кривой. Соответствующие им точки w=w₀+D w G₁ G, w₀ G₁- гладкой кривой. Комплексные числа D z и D w - вектора секущих к кривым g₁ и G₁. arg D z и arg D w - имеют геометрический смысл углов соответствующих векторов с положительными направлениями осей абсцисс на комплексных плоскостях z и w соответственно, а |D z| и |D w|- длины этих векторов. ПриD z 0 вектора секущих переходят в вектора касательных к соответствующим кривым.

|D w|=k|D z|+o(|D z|²), k=|f'(z₀)| не зависит от выбора g ₁.
Геометрический смысл |f'(z₀)|: При отображении w= f(z) C (g) и f'(z₀) 0, z₀ g бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом, причем |f'(z ₀)|- коэффициент преобразования подобия. -это свойство носит название
a) Свойство постоянства растяжения.

a =arg f'(z₀)= argD w- argD z=F ₁-j₁.
Геометрический смысл arg f'(z₀): Разность угла F ₁ (угол между касательной к кривой G ₁ и положительным направлением оси u на плоскости w) и угла j₁ (угол между касательной к кривой g₁ и положительным направлением оси x на плоскости z)
=> F₁=j₁+a. Другими словами, аргумент производной arg f'(z₀) в точке z₀ определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к " гладкой кривой g, проходящей через точку z₀, чтобы получить касательную к образу этой кривой в точке w₀=f(z₀).
Т.к. a =arg f'(z₀) не зависит от выбора g₁, то для " g₂: z₀ g ₂ : F ₂=j₂+a =>
=>F =F ₂-F₁=j₂-j₁=j (сохраняется величина и направление углов).
b) Свойство сохранения углов.
Определение Отображение окрестности точки z₀ на окрестность точки w₀, обладающее свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением в точке z₀.
=> бесконечно малая окружность бесконечно малую окружность; бесконечно малый треугольник бесконечно малый треугольник.

Основное определение. Непрерывное взаимно однозначное отображение области g комплексной плоскости z на область D комплексной плоскости w, при котором в " zÎ g выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений, называется конформным отображением g на D.
Обозначение: g D.
Очевидно, что при этом D конформно отображается на g.
Теорема Если f(z) C (g), однозначная и однолистная, и f'(z) 0, " z g, то f(z) осуществляет конформное отображение g D.

Теорема (обратная) Если f(z) осуществляет конформное отображение g D, то f(z) C (g), однолистна, и f'(z) 0, " z g.

Теорема Необходимым и достаточным условием конформности отображения является f(z) C (g), однозначна и однолистна в g.

Принцип соответствия границ. Если f(z) C (), g-односвязна и f(x) взаимно однозначно отображает на замкнутый контур G = D плоскости w с сохранением обхода, то g D.

Теорема Римана. Основной закон конформных отображений.
Заданы область g комплексной плоскости g и область D комплексной плоскости w. Требуется найти f(z)=w конформно отображающую g на D.
Теорема Римана. Если g- односвязная область комплексной плоскости w, граница которой состоит более чем из одной точки, то $! f(z) C (g): g |w|<1, так что f(z₀)=0 и arg f'(z₀)=a, z₀ g и a - заданные числа.
Полное доказательство приводить не будем. (см. например А.В.Бицадзе "Основы теории аналитических функций").
Ограничимся замечаниями.
1. Пусть g комплексной плоскости z и G комплексной плоскости w удовлетворяют условиям теоремы Римана. Тогда
$x =f(z): g |x |<1; f(z₀)=x ₀ и $ w=j (x): |x |<1 D, j (x ₀)= w₀ => $ w=F(z)= j (f(z)); g D; F(z₀)=w₀ .
2. Односвязность существенна!.
3. Условия теоремы Римана можно заменить установлением соответствия 3-х точек трем точкам D.

Основные функции, используемые при конформных отображениях.
a) Степенная w=f(z)=zⁿ, область однолистности 0<arg z<2p/n.
b) w=f(z)=1/z область однолистности- вся комплексная плоскость. z w
c) w=f(z)=e^z область однолистности -p <Im z<p.

Дробно-линейная функция.
w=f(z)=(az+b)/(cz+d)=l (z+a)/(z+b) (3 параметра, a¹b).
z=l '(w+a ')/(w+b '); z w, f'(z) 0 для " z.
1. Геометрический смысл: f(z)=l [1+(a -b)/(z+b)] - повороты и растяжения, отражение от действительной оси, инверсия.
2. Заданием соответствия 3-м точкам z₁ w₁, z₂ w₂, z₃ w₃, плоскости z трех точек плоскости w, дробно-линейная функция определена однозначно, т.е. коэффициенты l, a, b однозначно выражаются через 6 заданных комплексных чисел.

Свойства дробно-линейной функции.
a) Круговое: A(x²+y²)+Bx+Cy+D=0; z=x+iy=1/z =1/(x +ih)=x /(x²+h²)-ih /(x²+h²)=>
=>A+Bx -Ch +D(x²+h²)=0. Окружность на плоскости однозначно определяется заданием 3-х точек.=> Задав z_i w_i, i=1,2,3 с сохранением направления обхода однозначно определим дробно-линейную функцию, конформно отображающую g D.
Пример. |z|<1 Imz>0. так, чтобы z=1 w=0; z=i w=1; z=-1 w= ;
Возьмем w=l (z-1)/(z+1); 1=l (i-1)/(i+1)=> l =(i+1)/(i-1)= (i+1)(1+i)/(i-1)(1+i)=-(1+i)²/2=
=-(1+2i-1)/2=-i; => w=i(1-z)/(1+z).
b) Сохранение сопряженности точек.
Пример. Imz>0 |w|<1; z₀ w₀=0; => w=l (z-z₀)/(z- z₀^*);

Функция Жуковского.
w=f(z)=(1/2)(z+1/z)-однозначная аналитическая функция в кольце 0<|z|< ;
Два полюса 1-го порядка: z=0 и z= .
Области однолистности: z₁ z₂ и z₁+1/z₁= z₂+1/z₂ =>(z₁-z₂)=(z₁-z₂)/z₁z₂ => z₁z₂=1 =>
Области однолистности |z|<1 и |z|>1.
f'(z)=(1/2)(1-1/z²); f'(z_1,2)=0 => z_1,2= 1.
Геометрический смысл отображения.
|z|>1; z=r₀e^ij ; w=(1/2)(r₀e^ij+(1/r₀)e^-ij); w=u+iv=(1/2)(r₀+1/r₀)cosj +i(1/2)(r₀-1/r₀)sinj;
u²/[(1/2)(r₀+1/r₀)]²+v²/[(1/2)(r₀-1/r₀)]²=1; a=(1/2)(r₀+1/r₀); b=(1/2)(r₀-1/r₀);
c²=a²-b²=1; => c= 1;
Окружность r₀e^ij семейство софокусных эллипсов. При r₀ 1 a 1, b 0.
|z|>1 w, с разрезом по отрезку [-1;1].
Луч z=re^ij; 1<r< ; j =j_0.
u=(1/2)(r+1/r)cosj _; v=(1/2)(r-1/r)sinj; => u²/cos^2j - v²/sin^2j=1; - гипербола:
c²=a²+b²=1; => c= 1; 0<j ₀<p /2- правая ветвь гиперболы, p /2<j₀<p - левая ветвь гиперболы. Полярная система координат |z|>1 переходит в эллиптическую систему координат на плоскости w, с разрезом с сохранением направления обхода. На плоскости w с разрезом определена обратная функция , являющаяся аналитическим продолжением действительной функции , u>1.
Аналогично, область однолистности |z|<1 на плоскость w с разрезом по

[-1;1] с изменением направления обхода.

На этой плоскости определена обратная функция , являющаяся аналитическим продолжением действительной функции , u>1.
Итак, функция Жуковского осуществляет конформное отображение полной плоскости z на двулистную Риманову поверхность w, склеенную из двух плоскостей w с разрезом по [-1;1]. Конформность отображения нарушается в точках z_1,2= 1, где f'(z_1,2)=0; z_1,2= 1< w_1,2= 1. Обратная функция (обе ветви) имеет две точки ветвления w=+ 1- концы берегов разреза.

Задача Робэна- распределение заряда на проводящей границе.

q= s (s)ds-дано; s (s)=(1/4p)En|C=-(1/4p)¶ u/¶ n|C; n-внешняя нормаль. Задача Робэна: D u=0 вне С;. u|C=const; ¶ u/¶ n ds=-4p q - дано. Найти s (s)=?

Задача просто решается, если С есть окружность |z |=1.
Тогда W (s)=q/2p =-(1/4p)¶ u₀/¶ n₀. =>¶ u₀/¶ n₀|_{|z |=1}=-2q.
Пусть известна функция z =f(z), которая конформно отображает С на плоскости z на окружность |z |=1 на плоскости z.
Тогда ¶ u/¶ n|_C=¶ u₀/¶ n₀|_{|z |=1} ¶ n₀/¶ n|_C+¶ u₀/¶t₀|_{|z |=1} ¶t ₀/¶ n|_C = (поскольку контур проводящий, то E_t =¶ u₀/¶t ₀=0) =-2q ¶ n₀/¶ n|_C;
Но при конформном отображении нормаль n к С переходит в нормаль n₀ к |z |=1, а меняется лишь ее длина => ¶ n₀/¶ n|_C=|f'(z)|_C=> ¶ u/¶ n|_C=-2q |f'(z)|_C .
=> s(s)= (q/2p) |f'(z)|_C .

Пример. Двусторонний отрезок [-1;1] на плоскости z. z =f(z): C |z |=1- функция,

обратная к функции Жуковского z =f(z)= ;

f'(z)|_{zÎ [-1;1]}=1+z/ |_{zÎ [-1;1]}=f(z)/ |_{zÎ [-1;1]}
Но |f(z)|_{zÎ [-1;1]}=|z |=1=>|f'(z)|_{zÎ [-1;1]}=1/ ;-1<x<1;=>s(x)=q/[2p ];-1<x<1;
Замечания. 1) s (x) , x 1- эффект острия; 2) 2 s (x)dx=q (Двусторонний отрезок).