Операционное исчисление

Операционное исчисление - это аппарат интегральных преобразований, позволяющий заменить операции дифференцирования и интегрирования функции действительной переменной (известной или неизвестной, заданной или искомой) на алгебраические операции с параметрами интегральных преобразований.

Понятие одностороннего преобразования Лапласа.
Класс рассматриваемых функций действительной переменной. f(t), - <t<
1) f(t) 0, t<0
2) f(t)- кусочно- непрерывна при t>0, т.е. для " конечного [a,b] f(t) имеет лишь конечное число разрывов I рода.
$ M>0, a'>0: |f(t)|<Me^a't, t╝ (f(t)- функция ограниченной степени роста).
inf a'=a- показатель степени роста.

Класс А(а)- класс функций ограниченной степени роста.
Замечания
1. Для f(t)=tⁿА(0), a=0, т.к. tⁿ<Me^a't для " a'>0.
2. f(t)=exp(2t²) А(а) для " a.
Определение. Односторонним преобразованием Лапласа функции f(t) класса А(а) называется функция комплексной переменной F(p), определяемая соотношением
F(p)= e^-ptf(t)dt;
Если $ F(p), то f(t) F(p); f(t)- оригинал, F(p)- изображение.
Для каких p $ F(p)?
Теорема Если f(t) A(a), то F(p) $ при Re p>a и в области Re p x₀>a интеграл сходится равномерно по р.