Кольцо сходимости ряда Лорана

c_n(z-z₀)ⁿ= c_n(z-z₀)ⁿ+ =P(z)+Q(z). P(z) называется правильной частью ряда Лорана, Q(z)- главной частью ряда Лорана. P(z) C (|z-z₀|<R₁).
В какой области Q(z) будет аналитической функцией? Сделаем замену 1/(z-z₀)= x;
Q(z) Q(x)= c_-n x ⁿC (| x |<1/R₂), где мы обозначили через 1/R ₂ радиус сходимости полученного степенного ряда. При R ₂<R₁существует общая область сходимости- круговое кольцо R₂<|z-z₀|<R₁.
Следствия теоремы Абеля:
1. c_n(z-z₀)ⁿC (R₂<|z-z₀|<R₁).
2. Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также C (R₂<|z-z₀|<R₁).
3. R₁ определяется через {c _n}, n=0,..., : R₁=1/L₁, L₁= или L ₁= , а R ₂ -через {c _-n}, n=1,..., : R₂= , или R ₂= .
4. Коэффициенты ряда Лорана c _n через значения суммы ряда в точке z ₀ не определяются! В точке z ₀сумма ряда Лорана не определена!

Т еорема Определение. Точка z ₀ называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) однозначная и C (0<|z-z₀|< r (z₀)), а точка z ₀ является особой точкой функции f(z).
Другими словами, точка z ₀ называется изолированной особой точкой функции f(z), если $ такая окрестность точки z ₀, в которой нет других особых точек функции f(z).
В самой особой точке z ₀ функция f(z) может быть не определена. Функцию f(z) в окрестности точки z ₀ можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце
0<|z-z₀|< r (z₀). Поведение функции f(z) в окрестности точки z ₀ определяется главной частью ряда Лорана Q(z)= .
Важное замечание В малой окрестности точки ветвления и неизолированной особой точки вообще нельзя раскладывать в ряд Лорана!
Возможны три случая:

a) Для " n>0 c_-n=0; Q(z)=0; f(z) c₀ при z z₀- устранимая особая точка. z₀ - правильная точка f(z). Если функция не определена в точке z ₀, то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z ₀)=c₀. В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z ₀|< r (z₀): | f(z)|<M и f(z)=(z-z ₀)^m j (z), m 0- целое, j (z₀) 0; и если f(z)=0, то z ₀ - нуль m- того порядка.
Теорема 16.1 Если f(z) C (0<|z-z₀|< r (z₀)) и |f(z)|<M при 0<|z-с|< r (z₀), то z ₀ - устранимая особая точка.

Если f(z) C (R₂<|z-z₀|<R₁), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= c_n(z-z₀)ⁿ.

b) Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями; Q(z)= ; c_-m0.
f(z) при z z₀- п олюс порядка m, f(z)= ; y (z₀) 0
Теорема 16.2 Если f(z) C (0<|z-z₀|< r (z₀)), z₀ - изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=> при z z₀(независимо от способа стремления z к z ₀), то z ₀ - полюс f(z).

c) Точка z ₀ называется с ущественно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z ₀ содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z-z ₀). (Бесконечное число коэффициентов c_-n 0). Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой.
Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для " комплексного числа B и "e >0, в "h - окрестности существенно особой точки z ₀ 0<|z-z₀|< h $ z₁: |f(z₁)-B|< e.

Классификация изолированных особых точек на языке пределов.

Пусть z₀ - изолированная особая точка f(z) C (0<|z-z₀|< r (z₀)).
a) Если при z из окрестности 0<|z-z₀|< r (z₀) и при z z₀ f(z) c₀|c₀|< , то z ₀- устранимая особая точка f(z).
b) Если при z из окрестности 0<|z-z₀|< r (z₀) и при z z₀ f(z) , то z ₀- полюс f(z).
c) Если при z из окрестности 0<|z-z₀|< r (z₀) и при z z₀ f(z) не имеет конечного или бесконечного предела, то z ₀- существенно особая точка f(z).

Определение. z является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции, если $ R>0: для " z: |z|>R f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0.
Ряд Лорана в окрестности z : f(z)= c_nzⁿ, R<|z|< .
a) z называется устранимой особой точкой f(z), если все c_n =0 при n>0 f(z)= c_nzⁿ, или $ конечный предел f(z) при z .
b) z называется полюсом f(z) если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z содержит конечное число членов с положительными степенями f(z)= c_nzⁿ, (m>0) или f(z) при z .
c) Точка z называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z содержит бесконечно много членов с положительными степенями z: f(z)= c_nzⁿ, или при z у f(z) н ет конечного или бесконечного предела.

Пусть z₀ - изолированная особая точка аналитической f(z). f(z)= c_n(z-z₀)ⁿ; 0<|z-z₀|< r, c_n= .
Определение. Комплексное число Выч[f(z),z₀]= , где С ⁺ - замкнутый контур, который можно стянуть к z ₀, оставаясь в кольце аналитичности функции f(z)- называется вычетом f(z) в точке z ₀.
Очевидно Выч [f(z),z₀]=c_-1.

Основная теорема теории вычетов. Пусть f(z) C ( \z₁,z₂,...,z_N) за исключением конечного числа N изолированных особых точек. Тогда f(z)dz =2 p i Выч [f(z),z_n].

Формулы вычисления Выч [f(z),z₀] в полюсе.

Как считать вычеты?
a) z₀- устранимая особая точка. Выч [f(z),z₀]=0.
b) z₀ - полюс порядка m>0. f(z)=c_-m/(z-z₀)^m+...+ c_-1/z-z₀+c₀+... =>
=> (z-z₀)^mf(z)= c_-m+...+ c_-1(z-z₀)^m-1+...=>
Выч [f(z),z₀]=c_-1= .
Частный случай m=1. Выч [f(z),z₀]=c_-1= .
Если f(z)= j (z)/ y (z), j (z₀) 0, y (z)=(z-z₀) y '(z₀)+...; y '(z₀) 0.
Тогда Выч [f(z),z₀]=c_-1= j (z₀)/ y '(z₀).
c) z₀- существенно особая: Выч [f(z),z₀]= c_-1=

Вычет f(z) в z

Вычет f(z) в z . Выч [f(z),z ]=- =-c_-1.Если z - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от 0.
Пример. f(z)=1+1/z. z - устранимая особая точка, Выч [f(z),z ]= -c_-1=-1 0.
Сумма всех вычетов функции, аналитической на полной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек+ z , включая вычет в z равна 0.