Аналитическое продолжение

Пусть f ₁(z) C (g₁) и g ₁ g₂=g₁₂ и пусть f ₂(z) C (g₂), причем f ₂(z) f₁(z), z g₁₂. Тогда f ₂ (z) называется аналитическим продолжением f₁ (z) на g₂ через общую подобласть g ₁₂.
В силу теоремы единственности определенной аналитической функции если аналитическое продолжение $, то оно- единственно. При этом в g=g ₁ g₂ $! (единственная) аналитическая функция F(z)= C (g). F(z) называется аналитическим продолжением своего первоначального элемента f ₁(z) C (g₁) на большую область g, для которой g ₁ g – подобласть.
Осуществить аналитическое продолжение можно с помощью степенных рядов. Пусть f(z) C (g) и z ₀ g- правильная точка g, т.е. $ c_n(z-z₀)ⁿ сходящийся к f(z) в общей части g и круга сходимости степенного ряда |z-z ₀| < r (z₀). Если r (z₀) больше расстояния от точки z ₀ до , то круг сходимости выйдет за пределы g, и мы получим F(z)- аналитическое продолжение f(z) C (g) на большую область g |z-z₀|< r (z₀).

Теорема На границе круга сходимости степенного ряда найдется хотя бы одна особая точка аналитической функции комплексной переменной, которая (функция) является суммой ряда внутри его круга сходимости |z-z ₀|<R₀.

Следствие. Радиус круга сходимости определяется расстоянием от центра сходимости до ближайшей особой точки той аналитической функции, к которой сходится данный ряд.

Теорема
Пусть f_i(z) C (g_i), i=1,2 и f _i(z) C (g_i+ G) и f ₁| G = f₂| G. Тогда F(z)= C

(g=g₁+g₂+ G).

Пусть отрезок [a,b] области g комплексной плоскости z. Тогда в силу теоремы единственности определенной аналитической функции в g может $! функция
f(z) C (g), принимающая заданные значения f(x) на x [a,b]. Если такая f(z) $, то она называется аналитическим продолжением в комплексную плоскость функции действительной переменной, заданной на действительной оси. f(x)- вообще говоря, комплексная функция действительной переменной. Причем в силу свойств аналитической функции f(x) должна быть бесконечно дифференцируема по x!!.

Элементарные функции действительной переменной.
sin x= ; cos x= ; e^x= ;

Целые функции , , - единственные аналитические продолжения sin x, cos x, e ^x на всю комплексную плоскость z. Естественно сохранить для них старые обозначения. Прямой проверкой проверяется ф ормула Эйлера:
e^iz =cos z+ isin z. Однако, это, с одной стороны требует нудных преобразований и обоснования возможности перестановки членов абсолютно сходящихся рядов, а с другой стороны, является следствием общего положения и возможности аналитического продолжения не только функций, но и аналитических соотношений.