Свойства изображений

1. f(t)=s (t)={0, t<0; 1, t>0; s (t)- функция Хевисайда. s (t) А(0) =>
=>F(p) C (Re p>0); F(p)= e^-ptdt=1/p; s (t) 1/p, Re p>0.
2. f(t)=tⁿ; n >-1; tⁿ А(0); F(p) C (Re p>0); F(p)= tⁿ e^-ptdt; F(x>0)= tⁿ e^-xtdt=
= {xt=s}=(1/x^{n +1}) sⁿ e^-sds=G (n +1)/x^{n +1}; F(p)- аналитическое продолжение F(x) в правую полуплоскость Re p>0; =>F(p)=G (n +1)/p^{n +1}; Если n -дробное, то берется та ветвь корня, которая является непосредственным аналитическим продолжением
x^{n +1}, x>0. Частный случай n =0; f(t)=s (t) 1/p, Re p>0. При n =n: tⁿ n!/pⁿ⁺¹
3. f(t)=e^{a t}; Re p> Re a; F(p)= e^{a t} e^-ptdt=1/(p-a); Re p> Re a; Линейность изображений.
Примеры 1) Полином.
2) sin w t=(1/2i)(e^{iw t}-e^{-iw t}) (1/2i)[1/(p-iw)-1/(p+iw)]= w /(p²+w²);
5. Теорема запаздывания.
f(t) A(a); f(t) F(p); f_t (t)={0, t<t; f(t-t) t>t;f_t (t) A(a); f_t (t) e^-ptf(t-t)dt=
={t-t =t'}=e^-pt e^-pt'f(t')dt'=e^-ptF(p).
Пример. Изображение прямоугольного импульса.
f(t)={0, t<t₁; 1, t₂<t<t₁; 0, t>t₂;} F(p)=(1/p)(e^{-pt 1}- e^{-pt 2});
Пилообразный импульс- самостоятельно.
6. Изображение производной. Пусть f(t) C[0; ] и имеет конечную производную f'(t), причем и f(t) и f'(t) A(a). Пусть f(t) F(p). Найдем f'(t) ?.
f'(t) e^-ptf'(t)dt=(по частям)=-f(0)+p e^-ptf(t)dt=(Rep>a)=pF(p)-f(0)=p[F(p)-f(0)/p];
Аналогично, если f(t) C^(n-1)[0; ] и f⁽ⁿ⁾(t)- кусочно- непрерывна, и f^(k)(t) A(a), k=0,1...n; то f⁽ⁿ⁾(t) pⁿ[F(p)-f(0)/p-f'(0)/p²-...-f^(n-1)(0)/pⁿ];
7. Изображение интеграла.
f(t) A(a); j (t)= f(t)dt Î A(a); j (t) e^-pt f(t)dt dt=(Rep>a)= e^-pt f(t) dtdt= =(1/p) e^-ptf(t)dt =(1/p)F(p);
Можно обобщить на случай n- кратного интеграла (1/pⁿ)F(p)
8. Изображение свертки.
f₁(t) A(a₁), f₂(t) A(a₂), j (t)= f₁(t)f₂(t-t)dt = f₁(t-t)f₂(t)dt A(a), a=max(a₁,a₂);
j (t) e^-pt f₁(t)f₂(t-t)dt dt=(Rep>a)= f₁(t) e^-ptf₂(t-t)dt dt=(t-t =t') =
= f₁(t)e^-pt e^-pt'f₂(t')dt dt'=F₁(p)F₂(p).