Постановка задачи. Сформулируем постановку задачи: минимизировать функцию при отсутствии ограничений

Сформулируем постановку задачи: минимизировать функцию при отсутствии ограничений. Для задачи нелинейного программирования при отсутствии ограничений необходимыми условиями того, что - точка локального минимума, являются:

1) функцию дифференцируема в точке ,

2) ) = 0, т.е. существует стационарная точка в .

Достаточные условия того, что - точка локального минимума, кроме

приведенных условий 1) и 2) включает следующее:

3) ) 0, т.е. матрица Гессе положительно определенная.

Если - выпуклая функция при всех , , то необходимым и

достаточным условием минимума является условие: ) = 0.

Процедура аналитического решения.

3. Проверяем выпуклость.

4. Если да, то решаем относительно ,…, систему уравнений

) = 0.

5. Если нет, то находим все множество ,…, решений уравнений ) = 0.

6. Отбираем подмножество решений , где ) является выпуклой функцией. Если нет таких точек, значит решения нет.

Если есть, то из отобранных решений выбираем точку с наименьшим значением ).

В качестве примера рассмотрим случай целевой функции от двух переменных . Если она в точке имеет экстремум, то в этой точке либо ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует. Точка называется критической (стационарной) точкой.