Декартово произведение множеств

Рассмотрим двухэлементное множество {a, b}. По определению (или аксиоме экстенсиональности) запись {b, a} означает то же самое множество. В общем случае двухэлементных множеств равенство определяется так:

{a,b}={c,d} Û ((a=b)&(c=d))Ú((a=d)&(b=c))

Т.е., аксиома равенства множеств определяет равенство независимо от того, в каком порядке перечисляются элементы множеств. – ­По этой причине двухэлементное множество иногда называют неупорядоченной парой, а n-элементное множество – неупорядоченной n-кой.

Но в математике существуют и объекты иной природы. Так, в декартовых координатах на плоскости точка (или вектор) с координатами (1,2) отлична от точки с координатами (2,1) – порядок чисел в этой записи существенен. Можно указать другие ситуации, когда порядок элементов существенен – например, имя-отчество. Еще пример: списки – например, ФИО, номер телефона, адрес, дата звонка, номер… и т.д. Таким образом, векторы, списки и другие подобные объекты не являются множествами по отношению к элементам, из которых они состоят.

Для описания таких ситуаций вводится новое понятие.

Упорядоченная пара на множествах А и В, обозначаемая < а, b >, определяется элементами а Î А и b Î B и порядком, в котором элементы записаны.

Существенная роль порядка, в котором перечисляются элементы упорядоченной пары, фиксируется определением равенства упорядоченных пар, которое отличает её от неупорядоченной пары:

Две упорядоченные пары <a,b> и <c,d> на множествах А и В равны,

если a = b и c=d, т.е. <a,b>=<c,d> ƒ (a=b)&(c=d).

Если А = В, то говорят об упорядоченных парах на множестве А.

Простейший и важнейший пример упорядоченной пары даёт аналитическая геометрия. Если на плоскости введена некоторая прямоугольная (декартова!) система координат, то положение любой точки однозначно задаётся упорядоченной парой действительных чисел – координатами этой точки.

Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор, или кортеж. Используются также названия: вектор (n-вектор), n-ка (двойка, тройка, пятёрка…)

В отличие от множества {a₁, a₂,…, a_n}, а_iÎ A_i, кортеж <a₁, a₂, …,а_n> характеризуется не только своими элементами, но и порядком, в котором они перечисляются. Роль порядка опять фиксируется определением равенства кортежей.

Два кортежа <a₁, a₂, …,а_n> и <b₁, b₂, …,b_n> на множествах А₁, А₂,…, А_n равны, если а_i=b_i, i=1, …,n.

Число n называется длиной или размерностью кортежа, а а_i – i-ой компонентой (проекцией).

Множество всех кортежей длины n на множествах А₁, А₂,…, А_n называют декартовым (прямым) произведением множеств А₁, А₂,…, А_n и обозначают A₁ ‰ A₂ ‰ …‰ A_n .:

A₁ ‰ A₂ ‰…‰ A_n ={ <a₁, a₂, …,а_n> | а_i Î A_i, i=1,…,n}

Если все множества А равны между собой, то указанное декартово произведение называют n-ной декартовой степенью множества А и обозначают Аⁿ. В частности, при n=2 имеем декартов квадрат, при n =3 – декартов куб множества А. По определению полагают А¹ = А.

Декартово произведение имеет следующие свойства:

1. А ‰(B Ç C)=(A ‰ B)Ç(A ‰ C)

2. А ‰(B È C)=(A ‰ B)∩(A ‰ C)

3. А ‰¯ = ¯‰ A =¯

Эти свойства нетрудно доказать методом 2-х включений.

Обратим внимание, что при построении декартовых произведений пустое множество ¯ играет роль нуля при умножении чисел.

Примеры. 1. Прямоугольник. 2. Плоскость, пространство…. 3. Тор. 4. Сфера S² – не является прямым произведением. 5. Цилиндры. 6. Декартово произведение конечных множеств.