Функции. 1. n+1 – местное соответствие называется функциональным по n+1–му аргументу, если из <a1, , аn, a>ÎR & <a1

1. n+1 – местное соответствие называется функциональным по n+1–му аргументу, если из < a ₁,…, а _n, a >ÎR & < a ₁,…, а _n, b > ÎR→ а = b, т.е. каждому n кортежу < a ₁,…, а _n> соответствует не более одного элемента а ÎA_n+1. Другими словами, если R функционально, то для каждого кортежа < a ₁ ,…, а _n > существует единственный элемент а ÎA_n+1, т.ч. a = f(< a ₁,…, а _n>) является функцией. Обратно, каждой функции f(< a ₁,…, а _n>) единственным образом можно сопоставить отношение Rⁿ = {< a ₁,…, а _n, f(< a ₁,…, а _n>)>}.

2. Отношение называется функциональным по второму аргументу, если из

< a, b >ÎR & < a, c > ÎR → b = c.

Говоря попросту, каждый элемент имеет не более одного образа.

Отношение, функциональное по второму аргументу, называют частичной функцией. Если отношение определено на всём множестве А и функционально по второму аргументу, мы будем использовать термин «функция» или «отображение».

3. Отношение называется функциональным по первому аргументу, если из

< a, b >ÎR & < с, b > Î RÞ а = c,

т.е. каждый элемент из В имеет не более одного прообраза.

Дальнейшее обобщение – отображение или функция, принимающая значение в декартовом произведении k множеств при k<n. В качестве примера можно привести движение материальной точки как функцию от времени: R→ R³: набор <x(t), y(t), z(t)> зависящих от времени координат точки является функцией (локально) со значениями в векторном пространстве или соответствием {< a ₁,…, а _n, f ( a ₁,…, а _n)>}.

Отображение R(A,B) называют сюръективным, или отображением на, если область значений совпадает с множеством В.

Отображение R(A,B) называют инъективным, или отображением в, если оно функционально по первому аргументу.

Отношение R(A,B) называют биективным, или взаимнооднозначным, если оно сюръективно и биективно.

Лекция 3

Отношения эквивалентности и порядка