Мощность множества

Теория множеств заняла свое подобающее место в основаниях математики после того, как Г. Кантором были получены существенные результаты в теории безконечных множеств. Так что можно сказать, что теория множеств – это наука в основном о безконечных множествах.

Первый вопрос, который возникает при изучении безконечных множеств – вопрос о количественной характеристике «безконечности». Т.е., различаются ли между собой безконечные множества и если да, то каким образом это различие можно характеризовать? Точный смысл этим словам придал Кантор. Он показал, что каждому множеству соответствует некоторая характеристика, называемая мощностью, или кардинальным числом множества.

Два множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого.

Покажем, что отношение равномощности есть отношение эквивалентн ости.

1. Существует биекция А в А (id_A) – тождественное преобразование – рефлексивность.

2. Если f – биекция, то f^--1 – тоже биекция – симметричность.

3. Если существует биекция f: A # B и существует биекция g: B# C, то существует биекция A# C – например, композиция f◦g двух биекций – транзитивность.

Следовательно, по свойству отношения эквивалентности, отношение разбивает все(!) множества на классы эквивалентности. Фактор–множество всех множеств по этому отношению «есть то общее, что присуще всем множествам данного класса» и есть мощность, или кардинальное число множества.

Так, для конечных множеств отношение равномощности означает, что в них одинаковое число элементов, но определение имеет смысл и для безконечных множеств. Например, интервалы (0,1) и (0,2) равномощны, поскольку отображение х a 2х осуществляет искомое соответствие.

Далее можно выбрать из каждого класса равномощных множеств по представителю – некоторому «стандартному» множеству и затем сравнивать произвольные множества с этими стандартными, устанавливая между ними взаимно однозначное соответствие. Получится некоторая своеобразная «линейка» для сравнения множеств.

Но здесь есть по крайней мере две тонкости: во-первых, необходим полный, без «дырок», набор «стандартных» множеств – хорошая линейка, во-вторых, ею надо уметь пользоваться – как мы увидим, взаимно однозначное соответствие между бесконечными множествами не слишком согласуется с обычными представлениями и числе элементов в конечных множествах.

Перейдём к изучению множеств, состоящих из безконечного числа элементов.

Первым делом заметим, что в аксиоматике Цермело-Френкеля есть аксиома о существовании хотя бы одного бесконечного множества – множества натуральных чисел. С него мы и начнем. Этому множеству (точнее, его классу эквивалентности) присвоено наименование – счетное множество и обозначение мощности – א₀. И сразу мы встречаемся с парадоксом, о котором упоминалось ранее как об умении пользоваться линейкой. «Парадокс» заключается в том, что множество натуральных чисел и множество, скажем, чётных чисел биективно отображаются друг на друга, т.е. имеют одинаковую мощность, и в то же время одно множество является подмножеством другого. Для конечных множеств это нонсенс – биекция невозможна между множеством и его собственным подмножеством. Но для бесконечных множеств, как мы установим впоследствии – это непременный факт.