Алгебры с одной операцией

ассоциативность нейтральный элемент обратный элемент

Группоид → Полугруппа → Моноид → Группа → Полурешётка

(коммутативность, идемпотентность)

Самые простые операции – унарные. Но обычно алгебры с одной унарной операцией не рассматривают – в силу их тривиальности.

ê Алгебра с одной бинарной операцией называется группоидом.

На единственную операцию группоида не накладывается никаких условий – не требуется даже ассоциативности. Операцию конечной алгебры можно задать таблицей Кэли.

ê Если операция ассоциативна: (x◦y)◦z=x◦(y◦z), то алгебра называется полугруппой.

ê Коммутативная и идемпотентная полугруппа называется полурешёткой.

ê Ассоциативная алгебра с нейтральным элементом называется моноидом.

ê Моноид, в котором операция имеет обратный элемент, называется группой.

Полугруппы

Полугруппой называется алгебра с одной ассоциативной бинарной операцией. Эту операцию обычно называют умножением, поэтому её записывают в виде a·b или ab. Такую запись называют мультипликативной. В частности, употребляют вместо аа, ааа и т.д. а², а³ и т.д.

ê если (А, ·) – алгебра, то (е^Аt, ·) t>0 – полугруппа.

ê Произвольное множество функций, замкнутое относительно суперпозиции (композиции) – полугруппа.

ê Множество слов в алфавите А образует полугруппу относительно операции конкатенации ◦. – Операция ассоциативна.

ê Пусть Р=<M, ◦> – полугруппа с конечной системой образующих А={a₁, …, a_n}. Тогда произвольный элемент а Î М представляется словом α Î А* (знак операции ◦ в слове можно опустить). Получается соответствие α → а. Может статься так, что для двух различных слов в алфавите А* соответствующие элементы М окажутся равными: α → а & β → b & a=b, но α≠β. Непосредственно проверяется, что указанное соответствие определяет отношение эквивалентности на А*, обозначаемое иногда символом ≡. Соответствующие соотношения между элементами α ≡ β называются определяющими. Например, в коммутативной группе определяющими будут соотношения ab ≡ ba. Если определяющих соотношений нет, то полугруппа называется свободной.