Представления группы

Гомоморфизм группы в (матричную) группу преобразований. Пространство представления.

Условие гомоморфизма:

Если интерпретировать матрицы как матрицы некоторых преобразований, то мы придём к паре (множество матриц, линейное пространство) — Представление группы (группа, пространство представления). (G, V).

Пример: U(1) = {e^iα}. Представление группы – умножение (обычное!) на комплексные числа. По определению умножения КЧ, это поворот в комплексной плоскости. Расписывая покоординатно, получаем матрицу О(2). Доказан изоморфизм групп.

Гомоморфные представления: на окружности, чётность.

5. Конечные группы.

Ряд понятий и определений относится ко всем группам.

Пример: <¢_k, Å_k>

Пусть имеется некоторая группа G – обозначим носитель и группу одной буквой, знак операции опустим.

ê Число элементов группы | G | называется порядком группы.

ê Подгруппа – множество HÌG, с той же операцией, которое само является группой.

ê Коммутативные группы называют также абелевыми. Для абелевых групп часто употребляют аддитивную запись: операция обозначается как сложение (+), а нейтральный элемент обозначается 0.

ê Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента а, называется циклической. Циклическая группа всегда абелева.

ê Пусть aÎG. Рассмотрим последовательность: а,… Если а = е, то это один элемент. Если же а ≠ е, то в этой последовательности обязательно встретятся различные элементы. Но в силу конечности порядка группы, обязательно появится единичный элемент: a^m = e. Порядок элемента а. Подгруппа, порождённая элементом а. Замыкание элемента а. – Циклическая подгруппа группы G.

ê Пример: <¢₂₄, Å₂₄>

Теорема Лагранжа. Порядок группы кратен порядку подгруппы. Индекс подгруппы. Следствие из теоремы – отсутствие подгрупп в группе, порядок которой – простое число.

ê Система образующих. Мультипликативная запись элементов группы – в виде слов из образующих.