Множество слов в алфавите А* с пустым словом Λ является моноидом.
Любое множество функций, замкнутое относительно суперпозиции (композиции) с тождественным отображением – моноид.
Теорема. Единица единственна. – Здесь закладывается, что единица сразу левая и правая, а значит, единственная.
Теорема. Всякий моноид над М изоморфен некоторому моноиду преобразований М.
ai↔fi: M→M, fi(x)=xai, x, ai M={e, a1, …}
Замечание. Моноид можно рассматривать как алгебру с двумя операциями: Σ={◦, e}, указав отдельно нейтральный элемент как нульарную операцию.
Группы
Группа – это полугруппа с единицей е (моноид), в которой для любого элемента а существует обратный а -1: а ◦ а -1= а -1 ◦ а = е.