Аксиомы группы

3 4 5 6 7 8 9

А₀: " g, f ÎG g◦f ÎG;

А₁: f◦(g◦h)=(f◦g)◦h;

A₂: $ e: " g ÎG g◦e=e◦g=g;

A₃: " g ÎG $g^-1: g◦g^-1= g^-1◦g= e.

Свойство: единственность обратного элемента.

Теорема. Пусть G = {e, g, h,…}. Тогда fG F {f, f◦g, f◦h…} = Gf = G^–1 F {e, g^–1,…}

Теорема. В группе выполняются следующие соотношения:

ê (а◦b)^-1 = b^-1◦a^-1;

ê а◦b = a◦c → b = c;

ê b◦а = c◦a→ b=c;

ê (а^-1)^-1=а.

Следствие: в группе всегда существует и единственно решение уравнения: а◦х=b. Решение: x=a^-1◦b.

ê Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой.

ê <¢; +> – аддитивная группа целых чисел по сложению. Сложение коммутативно и ассоциативно. Обратным элементом к а является –а.

2. «Происхождение» групп». Галуа, Абель…

1) Группы симметрий многоугольников и многогранников – повторное применение двух преобразований есть снова симметрия. Кристаллографические группы. Практический пример – огранка алмазов.

2) Замена координат (поворот) на плоскости – матрица О₂ = . Обобщение – матрицы n‰n. Тождественному преобразованию соответствует единичная матрица. Существование обратного преобразования (условие группы) ™ матрица должна быть невырожденной.

3. Параметрические группы (группы Ли).

1) GL(¡,n), GL(£,n). – Число параметров – n² – действительных или комплексных. SL(¡,n), SL(£,n) – специальные. Общая замена координат в n–мерном пространстве или действие (невырожденного) линейного оператора на вектор.

2) O(n) – ортогональная группа (вращений) n–мерного пространства – группа матриц. При вращениях сохраняются длины векторов – и, более того, углы между векторами – следовательно, сохраняется скалярное произведение векторов, что приводит к равенству . — Группа вращений евклидового пространства. Определитель матрицы равен ±1 – выделяют собственные преобразования.