Лекция 7. Алгебры с двумя операциями

Алгебры с двумя операциями.

Кольцо – это алгебра (M; +, ·, 0,1) с двумя бинарными операциями, которые условно называются сложением и умножением. При этом кольцо – абелева группа по сложению и полугруппа по умножению; умножение дистрибутивно слева и справа относительно сложения. Кольцо может быть коммутативным и/или с единицей.

Аксиомы кольца:

Ø a+(b+c)=(a+b)+c;

Ø a+b=b+a;

Ø a+0=a;

Ø (–а)+a=0;

Ø a· (b·c)=(a·b) ·c.

По умножению кольцо является полугруппой. Если (как правило) операция умножения обладает единицей, то полугруппа превращается в моноид.

Ø a·e= e·a=a

Умножение в кольце дистрибутивно относительно сложения и слева, и справа:

Ø a·(b+c)=a·b+b·c; (b+c) ·a=b·a+c·a

Теорема. В кольце с единицей выполняются следующие тождества:

1) 0·а = а·0 = 0 — аннулирующее свойство 0;

2) (–а) ·b = – (a·b) = a·(–b);

3) (a–b) ·c = a·c – b·c.

Свойства 2) и 3) называются дистрибутивными свойствами вычитания. С их помощью в кольце можно раскрывать скобки и менять знаки в формулах точно так, как это делается в обычной алгебре действительных чисел.

► 1): а + 0·а = e·а + 0·а = (e + 0)·а = e·а =а, т.е. а + 0·а= а. Рассмотрим последнее равенство как уравнение для неизвестной величины 0·а. Т.к. операция сложения есть группа, то уравнение имеет единственное решение: 0·а =а–а=0. Аналогично доказывается для а·0.

2): a·(–b) + a·b = a·((–b) + b) = a·0 = 0, откуда (–а) ·b = – (a·b) = a·(–b).

3): с учетом доказанного, a·(b–c) = a·(b +(–c)) = a·b + a·(–c) = a·b – a·c. ◄

Следствие: в кольце с единицей справедливо тождество: (–e)·х = х·(–e) = –х.

Может случиться так, что a·b=0 или b·a=0 при каком-то из a,b≠0. В этом случае говорят о делителях нуля. Если в кольце есть делители нуля, то в нем линейные уравнения вида: a·х = b однозначно не разрешимы. Например, кольцо вычетов по модулю р в случае, если р – составное число. Так, уравнение 2·х=4(mod6) имеет решения х =2 и х=5. Любая машинная арифметика (например, (2¹⁵; +, ·)) имеет делители нуля (128·256 = 0 mod(2¹⁵⁾).

Кольцо без делителей нуля называется областью целостности. Если умножение в кольце – группа (есть обратный элемент и нет делителей нуля) то кольцо называется телом.

Ø для любого элемента а существует обратный элемент а^-1: а·а^-1=а^-1·а = e.

Если группа коммутативна:

Ø a·b=b·a

то кольцо называется полем. Поля действительных чисел, комплексных, Галуа, …

В поле уравнение а·х + b = 0 имеет единственное решение.