Алгебра (кольцо, поле) комплексных чисел

Столь хорошее свойство полей – единственность решения линейных уравнений – приводит к задаче описания наиболее важных полей. К таким принадлежат, например, поля Галуа, поля вида a + b , где а и b – рациональные числа, и т.п. К наиболее важным полям принадлежит поле комплексных чисел.

Комплексные числа вводятся как пара действительных чисел с правилами сложения и умножения:

(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)

(a,b)(c,d)=(ac–bd, ad+bc),

т.е. сложение определяется покомпонентно, а умножение – нет. Если бы и умножение было покомпонентным, то существовали бы делители нуля [(0,1)(1,0)=(0,0)]. Определенная таким образом операция приводит к группе по умножению.

Существует гомоморфизм (на самом деле изоморфизм) поля комплексных чисел в множество квадратных матриц определённого вида:

f(a+bi)=

Проверяем: f((a+bi)(c+di))=f(a+bi)f(c+di). Аналогично для сложения: f((a+bi)+(c+di))=f(a+bi)+f(c+di). Следствием этого изоморфизма является утверждение о том, что С – поле. Данный изоморфизм позволяет просто представлять комплексные числа а ЭВМ.