Алгебра (тело) кватернионов

Кватернионы вводятся похожим образом – как пары комплексных чисел. Сложение кватернионов покомпонентное, умножение определяется формулой: (a,b)(c,d)=(ac–b , ad+b ). Умножение кватернионов ассоциативно, но не коммутативно. Делителей нуля нет – т.е. по умножению кватернионы образуют группу, а вместе со сложением – тело. Каждый кватернион можно разложить единственным образом по формуле: α = a+bi+cj+dk, где a,b,c,d – действительные числа, i, j, k – мнимые единицы. Умножение кватернионов можно задать таблицей Кэли:

— в полной аналогии с векторным произведением векторов в 3-мерном пространстве.

Сопряжение кватерниона – изменение знака у мнимых единиц: α → = a–bi–cj–dk. Норма кватерниона – сумма квадратов компонент (или сумма модулей комплексных чисел, образующих кватернион) – обладает свойствами: .

Существует изоморфизм между кватернионами и комплексными матрицами 2 на 2 определённого вида. Эти матрицы осуществляют, как говорят, представление кватернионов и называются матрицами Дирака. Соответствие между мнимыми единицами и матрицами Дирака следующее:

Коэффициент при единичной матрице – действительная часть кватерниона.